Valor esperado de la integral de una excursión browniana

Question

Sea $\mathrm{B}_e(t)$ sea una excursión browniana sobre $[0,1]$ . Me gustaría encontrar $$ \mathbb{E}\left[ \int_0^1 \mathrm{B}_e(t) dt \right]$$ En este Correo electrónico: se explica que la integral de un movimiento browniano es gaussiana. Siguiendo las respuestas se afirma que si $\mathrm{B}(t)$ es un movimiento browniano, entonces $$ \int_0^\tau \mathrm{B}(t) dt \sim N\left(0, \int_{0}^{\tau}(\tau-s)^{2} d s\right) $$ Eso sería $\sim N\left(0, \frac{1}{3}\right)$ en $[0,1]$ .

Pero aquí se trata de una excursión, intuitivamente la integral no será $0$ ya que es positivo en todas partes en $(0,1)$ . Es decir, mi pregunta es si tal relación existe para una excursión browniana.

Answer 1

Sea $\def\B{\mathrm{B}}\B(t)$ sea el movimiento browniano habitual, y sea $\B_b(t)$ sea el puente browniano. Explícitamente, $$\B_b(t)=\B(t)-tB(t).$$

Se puede demostrar (véase Relación entre puente browniano y excursión browniana ) que $$ \B_e(t)\stackrel{D}= B_b(\tau_m+t\!\!\mod 1)-B_b(\tau_m), $$ donde $\tau_m$ es el momento en que $\B_b$ alcanza su mínimo. De ello se deduce que $$ E\left[\int_0^1\B_e(t)\,dt\right]=E\left[\int_0^1\B_b(t)\,dt\right]-E\left[\B_b(\tau_m)]=0-E[\B_b(\tau_m)\right], $$ Por lo tanto, la expectativa que se desea es la opuesta al mínimo esperado de un puente browniano, o equivalentemente el máximo esperado de un puente browniano.

Sea $M=\sup_{0\le t\le 1}\B_b(t)$ sea este máximo. Utilizando el principio de reflexión, se puede demostrar que $$ P(M> m)=P(\B_1=2m\mid \B_1=0)=\frac{ \frac1{\sqrt{2\pi}}\exp(-(2m)^2/2)}{\frac1{\sqrt{2\pi}}\exp(-0^2/2)}=\exp(-2m^2). $$ Es decir, si se toma un puente browniano y se refleja después del tiempo que alcanza $+m$ se obtiene una trayectoria de movimiento browniano que termina en $2m$ . A la inversa, cualquier trayectoria con alcances $2m$ refleja a un puente que alcanza $m$ . Por supuesto, no se permite condicionar a un suceso de probabilidad cero, pero lo anterior es la intuición que puede hacerse riguroso .

Poniendo esto en conjunto, $$ E\left[\int_0^1\B_e(t)\,dt\right]=E[M]=\int_0^\infty P(M>m)=\int_0^\infty \exp(-2m^2)\,dm=\sqrt{\pi/8}. $$