Cálculo de los límites de un $\alpha$ nivel intervalo de confianza

Question

Estoy resolviendo esta pregunta (como práctica) y estoy atascado en la segunda pregunta. Realmente no entiendo cómo calcular los límites del intervalo de confianza, y no estoy seguro de cómo enfocarlo.

La pregunta se da en la imagen (de Introducción a la Estadística Matemática por Hogg et al pg. 346 en mi copia), pero en términos generales se da $Y$ que tiene una distribución conocida, ¿cómo calculamos $c_1, c_2$ tal que $$P(c_1 < Y < c_2) = 1 - \alpha,\quad 0 < \alpha < 1?$$

Puesto que sabemos que $2 \theta W = \frac{2 \theta n}{\hat{\theta}}$ tiene un $\chi ^2 (2n)$ estaba pensando que podría calcular el intervalo de confianza de forma normal y obtener $c_1$ y $c_2$ Sin embargo, no estoy seguro de que sea la técnica adecuada para esta pregunta.

Answer 1

Datos: Supongamos que tenemos una muestra de tamaño $n = 10$ de $\mathsf{Beta}(3, 1),$ para que $\theta = 3.$ Muestra simulada en R:

set.seed(305)
n = 10;  x = rbeta(n, 3, 1)
summary(x); sd(x)
   Min. 1st Qu.  Median    Mean 3rd Qu.    Max. 
 0.6086  0.6916  0.8535  0.8052  0.9031  0.9581 
[1] 0.1241171  # sample SD

La MLE $\hat \theta = n/W =10/W = 4.388208,$

w = -sum(log(x))
[1] -2.278835
th.est = n/w;  th.est
[1] 4.388208

Dado que $2\theta W \sim \mathsf{Chisq}(\nu=20),$ tenemos $$P(L < 2\theta W < U) = 0.95,$$ donde $L$ y $U$ probabilidades de corte $0.025$ de la parte inferior y cola superior de $\mathsf{Chisq}(20),$ respectivamente.

(th.est/20)*qchisq(c(.025,.975),20)
[1] 2.104316 7.497167

Dado que

$$0.95 = P(L < 2\theta W < U) =P\left(L< \frac{20\theta}{\hat\theta} < U\right)\\ = P\left(\frac{\hat\theta L}{20}<\theta< \frac{\hat\theta U}{20}\right),$$ donde $L$ y $U$ probabilidad de corte $0.025$ de la parte inferior y superior colas de $\mathsf{Chisq}(20).$

A continuación, un IC del 95% para $\theta$ es de la forma $\left(\frac{\hat\theta L}{20},\, \frac{\hat\theta U}{20}\right) = (2,10, 7.50),$ que sí cubre $\theta = 3$ de nuestro ejemplo.

(th.est/20)*qchisq(c(.025,.975),20)
[1] 2.104316 7.497167