¿Hay una caracterización de los dominios de la integral en términos de los homomorphisms de ellos?

Question

En el $\mathbf{Set}$-hormigón categoría de anillos conmutativos, podemos definir que un objeto $A$ es un campo de iff para cada homomorphism $f : A \rightarrow B$, precisamente uno de los siguientes sostiene.

1. $f$ es inyectiva
2. $B$ es la trivial anillo conmutativo.

(Esto sólo funciona si asumimos que todos nuestros anillos tienen un $1$ y que el anillo de homomorphisms preservar $1$.)

Pregunta. Hay una similar caracterización integral de los dominios (visto como anillos conmutativos) en términos de la homomorphisms fuera de ellos?

Answer 1

No sé cómo utilidad de esto es,

Un anillo conmutativo $A$ es una parte integral de dominio $iff$ para todos comm anillos de $B$ y todos los homomorphisms $f:B\rightarrow A$, $kerf$ es un alojamiento ideal. Esto funciona por la primera isomorfismo y el hecho de que todos los subrings integral de dominios son parte integral de los dominios.

La otra forma de implicación de la siguiente manera tomando el mapa de identidad y el uso de cero ideal es primo si el anillo es una parte integral de dominio.

No sé cómo hacer esto en términos de los mapas fuera de la integral de dominio.