Es cada número entero $\ge 312$ la suma de dos enteros con divisores triangulares?

Question

Decimos que un número natural $n$ tiene divisores triangulares si tiene al menos un triplete de divisores $n = d_1d_2d_3$ , $1 \le d_1 \le d_2 \le d_3$ tal que $d_1,d_2$ y $d_3$ forman los lados de un triángulo (no degenerado)

Por ejemplo : $60$ tiene divisores triangulares porque $60 = 3.4.5$ y $3,4,5$ forman un triángulo. Obsérvese que otro triplete de divisores de $60 = 1.4.15$ no forma un triángulo pero debido al triplete $3,4,5$ el número $60$ califica un número con divisores triangulares. Por otro, el número $10$ no tiene ningún triplete de divisores triangulares.

He comprobado experimentalmente las siguientes conjeturas. ¿Se pueden probar o refutar?

Conjetura débil : Cada número entero $\ge 8$ que tiene divisores triangulares puede escribirse como la suma de dos enteros, ambos con divisores triangulares.

Conjetura sólida : Cada número entero $\ge 8$ excepto $11, 14, 15,23, 38, 47, 55, 71, 103, 113$ y $311$ se puede escribir como la suma de dos números enteros, ambos con divisores triangulares.

Nota : Esta pregunta se publicó en MSE Hace 3 meses año. Consiguió algunos upvotes pero a las respuestas. Por lo tanto publicar en MO.

Pregunta relacionada: Cuántos números $\le x$ se puede factorizar en tres números que forman los lados de un triángulo?

Answer 1

No es una respuesta completa, pero creo que tenía sentido resumir el hilo de comentarios anterior:

Teorema: Todo número entero positivo suficientemente grande es expresable como suma de tres números que tienen divisores triangulares.

Para ver esto, observe que cada cuadrado perfecto, $n^2$ tiene divisores triangulares $(1,n,n)$ .

Además, si $m$ tiene divisores triangulares, también $mk^3$ para cualquier $k$ . Esto se debe a que podemos simplemente tomar nuestros tres divisores $d_1$ , $d_2$ y $d_3$ y escalarlos para que sean $kd_1$ , $kd_2$ , $kd_3$ .

Así que cualquier número de la forma $n^2k^3$ tiene divisores triangulares. Pero estos son precisamente los números poderosos, números en los que todos los factores primos se elevan al menos a la segunda potencia. (Obsérvese que a veces se llaman números cuadrados).

Para demostrar el teorema utilizamos entonces el teorema de Heath-Brown de que todo número entero positivo suficientemente grande es expresable como suma de tres números potentes.