Homomorfismos canónicos $R_{\mathfrak{p}_i} \to R/\mathfrak{p}_i^n$ son isomorfismos cuando $R$ es artiniano

Question

Estoy haciendo este ejercicio (del libro del Bosco):

Sea $R$ sea un anillo artiniano y sea $\mathfrak{p}_1, \ldots \mathfrak{p}_n $ sean sus (pares de) ideales primos. Demostrar que:

a) El homomorfismo canónico $R \to \prod_{i = 1}^{r} R/\mathfrak{p}_i^n $ es un isomorfismo si $n$ es lo suficientemente grande.

b) Los homomorfismos canónicos $R_{\mathfrak{p}_i} \to R/\mathfrak{p}_i^n$ , $\ i = 1, \ldots, r $ son isomorfismos si $n$ es lo suficientemente grande.

He hecho el punto a) pero estoy atascado en el punto b). ¿Alguna pista?

Answer 1

Sea $\mathfrak m$ sea un ideal maximal de un anillo conmutativo $R$ . Defina $f:R_{m}\to R/m^k$ por $f(a/s)=\hat a\hat s^{-1}$ . (Tenga en cuenta que $s\in R-m$ Así que $\hat s$ es invertible en $R/m^k$ que es un anillo local con ideal máximo $m/m^k$ .) Obviamente $f$ es suryectiva. Además, $$a/s\in\ker f\iff\hat a\hat s^{-1}=\hat 0\iff\hat a=\hat 0\iff a\in m^k,$$ y por lo tanto $\ker f=m^kR_m$ . Si $m^kR_m=(0)$ , $f$ es inyectiva, es decir, un isomorfismo.