¿Cuántos números de 5 cifras enteras, comprendidas entre 1 y 9, hay si dos de esas cifras se repiten cada una exactamente dos veces?

Question

Así que tenemos un número con cinco dígitos: XXYYZ. Dos de estos cinco dígitos son iguales (X). Otros dos dígitos también son iguales (Y). Y el último es otro dígito (Z). Los dígitos van de $1$ a $9$ y X, Y y Z deben ser diferentes entre sí. Ejemplos: $88922$ , $22113$ , $77118$

Lo que sé: En primer lugar, tenemos XXYYZ que pueden cambiar de lugar entre sí, por lo que tenemos $\frac{5!}{2!*2!}$ . Entonces para X tenemos $9$ para Y tenemos $8$ opciones y para Z, $7$ opciones. Así, multiplicando todo el resultado debe ser $\frac{5!}{2!*2!} * 9 * 8*7$ que podríamos escribir como $\frac{5!}{2!*2!} * 7 * \frac{9!}{7!}$ . El problema es que mi libro dice que la respuesta es $\frac{5!}{2!*2!} * 7 * \frac{9!}{7! *2!}$ y ahora no sé qué hice mal. ¿Podría alguien ayudarme, por favor?

Answer 1

Tenga en cuenta que la elección de los dígitos $4$ para $X$ , $5$ para $Y$ y $6$ para $Z$ y, a continuación, colocar el $X$ s en las dos primeras posiciones, el $Y$ s en las dos últimas posiciones, y el $Z$ en la posición central produce exactamente el mismo número que elegir los dígitos $5$ para $X$ , $4$ para $Y$ y $6$ para $Z$ y, a continuación, colocar el $X$ s en las dos últimas posiciones, el $Y$ s en las dos primeras posiciones, y el $Z$ en la posición intermedia, a saber $44655$ . Por lo tanto, has contado cada número dos veces.

Elige qué dos de los nueve dígitos aparecerán dos veces cada uno en $\binom{9}{2}$ formas, elija cuál de los siete dígitos restantes aparecerá una vez en $\binom{7}{1}$ formas, elija dos de las cinco posiciones del número para el menor de los dígitos que aparecerá dos veces en $\binom{5}{2}$ maneras, dos de las tres posiciones restantes para el mayor de los dos números que aparecerán dos veces en $\binom{3}{2}$ formas, y rellena la posición restante con el número que aparecerá una vez. Hay $$\binom{9}{2}\binom{7}{1}\binom{5}{2}\binom{3}{2}$$ tales números, lo que concuerda con la respuesta de su libro.