Composición del conjunto de Mandelbrot

Question

Para definir el Conjunto de Mandelbrot consideramos una secuencia de números complejos $z_0$ , $z_1$ , $z_2$ , $z_3$ con las siguientes condiciones: $$ \begin{cases} z_{n+1} &= &z_n^2 + c &\text{ for }n\geq 0, \\ z_0 &= &0. \end{cases} $$ donde término $c$ es constante. Por lo tanto, la secuencia $z_0$ , $z_1$ , $z_2$ , $z_3$ comienza $0$ , $c$ , $c^2 + c$ , $(c^2 + c)^2 + c\ldots$

El número $c$ sería un miembro del Conjunto de Mandelbrot si el término $|z_n|$ no llegó a infinito, como el número de términos de la secuencia, $n$ llegó hasta el infinito.

Tengo dos preguntas sobre el Conjunto de Mandelbrot:

1. ¿Por qué si hay algún paso $k$ en el que $|z_k| > 2$ puede estar seguro de que la secuencia $|z_n|$ ¿llega hasta el infinito?

2. ¿Cómo podemos pruebe matemáticamente, que es este número $2$ que tenga esta propiedad, y no cualquier otro número (especialmente los inferiores a $2$ )?

Answer 1

Para Q1 : Considera primero $|c| > 2$ . Entonces tenemos que utilizando la desigualdad del triángulo $$ |c^2| = |c^2 + c - c| \leq |c^2 + c| + |c| $$ o $$ |c^2 + c| \geq |c|(|c| - 1) > |c|$$ Así que tenemos que $|z_2| > |c|$ .

A continuación, afirme: si $|z_k| > \max(|c|,2)$ para algunos $k$ entonces $|z_k|\nearrow \infty$ . Para demostrar esta afirmación, consideremos $$ |z_k|^2 = |z_{k+1} - c| \leq |z_{k+1}| + |c| $$ así que tenemos que $$ |z_k|^2 - 2|c| \leq |z_{k+1}| - |c| $$ Utilizando ahora la hipótesis sobre $|z_k|$ tenemos que $$ 2(|z_k| - c) \leq |z_{k+1}| - |c|$$ por lo que la secuencia de números (positivos) $|z_n| - |c|$ crece al menos geométricamente. Por lo tanto, divergirá hasta el infinito.

Ahora bien, si $|c| > 2$ tenemos que $|z_2| > \max(|c|,2)$ y así por la afirmación anterior diverge. Si $|c| \leq 2$ Sin embargo, la hipótesis de la afirmación anterior es que $|z_k| > 2$ que es precisamente lo que queremos.

Para Q2 : como se ha dicho, no se puede. Puesto que para cualquier $m \geq 2$ tenemos la misma propiedad que si $|z_k|> m$ entonces $|z_n|$ llega hasta el infinito. Lo que quieres probar en cambio es que 2 es el el más pequeño con esta propiedad. Para ello $m <2$ sea un número cualquiera. Y que $-c= z_2 = 2$ . Tenemos que $|c| = |z_2| = 2 > m$ por definición. Pero entonces

$$ z_k^2 + c = 4 - 2 = 2 = z_{k+1}$$

para que $z_2 = z_3 = \ldots = z_k = z_{k+1} = z_{k+2} = \ldots = 2$ para que la secuencia no diverja. Por tanto, si $m < 2$ podemos encontrar un $z_k$ para los que no se cumple la propiedad. Y este contraejemplo demuestra que $2$ es el número más pequeño para el que puede cumplirse la propiedad.