Estoy tratando de entender la definición de una forma diferencial en $M$ en el contexto de los espacios de Fréchet o, más en general, de los espacios localmente convexos. El procedimiento estándar define una forma k como un mapa $\alpha: M \rightarrow L^k_{\text{alt}}(TM)$ tal que la representación de coordenadas $U \times E^k \rightarrow \mathbb{R}$ es suave. Toma, $L^k_{\text{alt}}(TM)$ denota el espacio de mapas k-multilineales, asimétricos y continuos sobre $TM$ .
Otro método ([1], [2]) dota a los espacios $L^k_{\text{alt}}(T_mM)$ con la topología fuerte, construye una estructura de haz vectorial para $\Lambda^k M := \bigcup_m L^k_{\text{alt}}(T_mM)$ y, por último, define las formas diferenciales como secciones suaves de este haz.
Tengo dos preguntas sobre esta construcción posterior:
1) ¿Cómo es la estructura lisa de $\Lambda^k M$ definido?
Antecedentes: En [3, Observación II.3.5 p. 18], Neeb declara que se puede dotar al haz cotangente de la estructura de un haz vectorial (¿topológico?), pero no de la estructura de una variedad lisa. La suavidad de las funciones de transición requeriría que los mapas de la forma $U \times E' \rightarrow E'$ , $(x,\alpha) \rightarrow \alpha \circ d(\rho \circ \kappa^{-1})_x$ son suaves para todas las transiciones del gráfico. Esto parece que sólo es válido para las variedades de Banach (¿por qué?). Pero este hecho nos impediría hablar de suave secciones del producto exterior.
2) Wurzbacher [2] dice que $\Lambda^k M$ es un haz vectorial porque todo mapa lineal continuo $T: E \rightarrow E$ asigna conjuntos acotados a conjuntos acotados. ¿Dónde se necesita este hecho?
[1]: Kriegl, Michor: Configuración conveniente del análisis global (p. 336 y ss.)
