Mi libro de texto es Introducción matemática a la lógica, 2ª edición por Enderton.
La pregunta surge inicialmente cuando intentaba demostrar el Ejercicio 4. en la pg.99
$$\text{Show that if }x \text{ does not occur free in }\alpha,\text{ then }\alpha \vDash \forall x \alpha$$
Una de las líneas en la prueba, que como he trabajado es:
las funciones de asignación $s$ y $s(x|d)$ de acuerdo en ninguna variable pero $x$ ya que $x$ no se produce libremente en $\alpha,$ de ahí $$\vDash_\mathfrak{U} \alpha[s] \Leftrightarrow \vDash_{\mathfrak{U}}\alpha[s(x|d)]$$
Entonces, volví a referirme a Teorema 22A que establece: Supongamos $s_1,s_2$ son funciones de asignación de $V$ en $\mathfrak{U}$ que coinciden en todas las variables (si las hay) que aparecen libres en la wff $\phi$ . Entonces $$\vDash_{\mathfrak{U}} \phi[s_1] \Leftrightarrow \vDash_{\mathfrak{U}} \phi[s_2]$$
Mi pregunta es ¿por qué sólo basta con variables libres? ¿Por qué no necesitamos imponer el acuerdo sobre las variables ligadas de $s_1,s_2$ ?
La demostración de este teorema utiliza la inducción, donde la hipótesis inductiva simplemente establece el acuerdo sobre variables libres en lugar de contar la intuición que hay detrás.
He intentado responder a mi propia pregunta, pero cuando se trata de discernir la diferencia entre variables libres y ligadas, la frase "una variable ligada es una variable que está siendo cuantificada" parece incompleta.
Además, esta pregunta está estrechamente relacionada con el post: Demuestre que si $x$ no se produce libremente en $$, then $ \vDash x $.
