Expansión de Taylor en $p$ -enteros radicales

Question

Sea $f \in Z_p[X]$ entonces para $ x, y \in Z_p$ , $\exists a \in Z_p$ s.t. $f(y)=f(x)+(y-x)f'(x)+(y-x)^2a$ .

¿Por qué es aplicable la fórmula de Taylor al polinomio en $p$ -enteros radicales $Z_p$ ? ¿Qué condición tiene el término resto?

¿Y puede ampliarse a un orden superior? Pero parece extraño que pueda, ya que $\frac{f^{(n)}(x)}{n!}$ no está definido en $Z_p$ para $n\geq p$ como $n!$ no es invertible.

(No estoy 100% seguro de si la fórmula es cierta, de hecho estoy leyendo el siguiente lema en Serre's a course in arithmetic, y sugiere que es cierto. Si alguien pudiera probar específicamente para $y=x+p^{n-k}z$ como a continuación, entonces lo aceptaré como respuesta).

Answer 1

Me he contestado parcialmente a mí mismo (con esto me basta).

Basta con demostrar para $f=X^m$ y esto podría hacerse por inducción en $m$ fácilmente.