Fórmulas explícitas para la suma natural (Hessenberg) y ordinal: ¿Funcionan?

Question

Como es sabido, los números ordinales tienen una correspondencia natural con los números surreales de la forma $$f(\alpha) = \{f(\beta):\beta\in\alpha\mid\}$$ Además, la suma surrealista de esos números corresponde a la suma natural (Hessenberg) de los números ordinales.

Ahora bien, la suma de números surreales tiene una fórmula recursiva explícita, mientras que no he visto una fórmula semejante para la suma natural. Por eso se me ocurrió trasladar la fórmula de los números surreales a la teoría de conjuntos.

La traducción más directa sería $$\alpha\oplus \beta = \{x\oplus\beta:x\in\alpha\}\cup\{\alpha\oplus x:x\in\beta\}$$ pero es fácil comprobar que no funciona, ya que obtendríamos por ejemplo $1\oplus 1 = \{1\} \ne \{0,1\}=2$ . La razón, por supuesto, es que en los números surrealistas tenemos las relaciones de equivalencia en las que podemos añadir números libremente al conjunto de la izquierda siempre que ya haya un número mayor en ese conjunto.

Una solución fácil sería añadir ese "relleno hacia abajo" explícitamente a la definición, pero eso frustraría un poco el objetivo de tener una fórmula explícita. Por eso pensé en rellenar el hueco con los propios operandos.

Es decir, mi conjetura sobre la fórmula explícita es: $$\alpha\oplus\beta = \alpha\cup\beta\cup\{x\oplus\beta:x\in\alpha\}\cup\{\alpha\oplus x:x\in\beta\}$$ Sin embargo, ni siquiera he podido demostrar que esto es asociativo, y mucho menos que de hecho en todos los casos da un ordinal de nuevo.

Viendo que la diferencia más obvia entre la suma natural y la ordinal es la no conmutatividad de esta última, también adiviné una fórmula para la suma ordinal simplemente de-simetrizando la fórmula: $$\alpha + \beta = \alpha \cup \{\alpha + x:x\in\beta\}$$ Aquí creo que al menos puedo demostrar la asociatividad, que junto con el hecho fácil de demostrar $\alpha+1=\alpha\cup\{\alpha\}$ significa que si finalmente se rompe, lo hace en un ordinal límite para $\beta$ .

Mi pregunta ahora es: ¿Reproducen realmente esas fórmulas la adición natural y ordinal de ordinales, y si no, dónde se rompen?

Answer 1

Consideremos las formas normales de Cantor (en orden descendente) de dos ordinales $\alpha= \omega^{\eta_1} m_1+...+\omega^{\eta_r} m_r$ y $\beta=\omega^{\eta_1} n_1 +...+\omega^{\eta_r} n_r$ donde algunos $n_i,m_i$ puede ser cero. Supongo que conoces la forma normal de $\alpha\oplus\beta$ se obtiene a partir de esos dos.

Afirmo que su fórmula es válida. Lo que quieres probar es que cualquier ordinal $\mu$ estrictamente a continuación $\alpha \oplus \beta$ es de la forma $\mu \in \alpha \cup \beta$ o $\mu= \alpha\oplus\gamma$ para algunos $\gamma \in \beta$ o $\mu = \delta \oplus \beta$ para algunos $\delta \in \alpha$ .

Considerando ahora la forma normal de $\mu$ puede analizar los distintos casos centrándose en el mayor exponente con coeficiente distinto de cero y comprobando si aparece en la forma normal de $\alpha$ o $\beta$ . Puedo dar más detalles si es necesario.