Si $X_n$ converge en distribución a $X$ , $Y_n$ a $Y$ , $X_n, Y_n$ y $X, Y$ independientes entre sí, entonces $X_n+Y_n$ converge a $X+Y$ .

Question

Supongamos que $X_n$ converge en distribución a $X$ , $Y_n$ converge en distribución a $Y$ . Supongamos que, para cada $n \in \mathbb N$ , $X_n$ y $Y_n$ son independientes, y $X$ y $Y$ son independientes. Demuestre que $X_n + Y_n$ converge a $X+Y$ en la distribución.

He aquí una pista que se dio:

Primero demuestre que $\bigcup_n\{(X_n, Y_n)\} \cup (X,Y)$ es ajustado, entonces utilicemos el siguiente teorema, que podemos suponer que es cierto:

Teorema: Sea $S$ sea un espacio métrico cualquiera. Sea $N \subset C_b(S)$ sea un subconjunto del conjunto de todas las funciones contínuas y acotadas sobre $\mathbb R$ que cumple las siguientes propiedades: para todo $\epsilon > 0, f \in C_b(S),$ y $K < \infty$ existe $g \in N$ tal que $|g(x) - f(x)| < \epsilon$ para todos $x \in [-K, K]$ y $\sup_{x \in S} |f(x)| \leq \sup_{x \in S} |g(x)|$ . Supongamos además que tenemos funciones de distribución $\mu_n$ y $\mu$ que están apretados.

Entonces $\mu_n$ converge débilmente a $\mu$ si, para todo $g \in N$ , $\int g\ d\mu_n \to \int g \ d\mu$ .

Siguiendo la pista, sabemos que $\mathbb P((X_n, Y_n) \leq (x,y))$ = $\mathbb P(X_n \leq x, Y_n \leq y) = \mathbb P(X_n \leq x) \mathbb P(Y_n \leq y)$ de modo que, dado $\epsilon > 0$ podemos elegir lo suficientemente grande $M$ de forma que $\mathbb P(|X_n| \geq M)$ y $\mathbb P(|Y_n| \geq M)$ son mayores que $\sqrt{\epsilon}$ por lo que la estanqueidad de las distribuciones es la siguiente.

El problema aquí es elegir el $N$ que satisfaga los requisitos del teorema. Un ejemplo de $N$ que satisface el requisito del teorema son $C_c^\infty(\mathbb R)$ el conjunto de todas las funciones suaves sobre $\mathbb R$ con un soporte compacto. Otra pista es que debemos elegir $N$ como subconjunto de $C_c^\infty(\mathbb R)$ .

Estoy un poco atascado. ¿Alguien me puede ayudar? Además, ¿es mi prueba de que $\bigcup_n\{(X_n, Y_n)\} \cup (X,Y)$ ¿está bien apretado?

Answer 1

Por el Teorema de Levy, basta que para cada $\theta\in\mathbb{R}$ , $\int e^{i\theta(X_{n}+Y_{n})}dP\rightarrow\int e^{i\theta(X+Y)}dP$ . Desde $X_{n}\rightarrow X$ y $Y_{n}\rightarrow Y$ en la distribución, tenemos que $\int e^{i\theta X_{n}}dP\rightarrow\int e^{i\theta X}dP$ y $\int e^{i\theta Y_{n}}dP\rightarrow\int e^{i\theta Y}dP$ . Desde $X_{n}$ y $Y_{n}$ son independientes, también tenemos \begin{eqnarray*} & & \int e^{i\theta(X_{n}+Y_{n})}dP\\ & = & \int e^{i\theta X_{n}}\cdot e^{i\theta Y_{n}}dP\\ & = & \int e^{i\theta X_{n}}dP\cdot\int e^{i\theta Y_{n}}dP\\ & \rightarrow & \int e^{i\theta X}dP\cdot\int e^{i\theta Y}dP\\ & = & \int e^{i\theta(X+Y)}dP, \end{eqnarray*} donde la última igualdad se deduce del hecho de que $X$ y $Y$ son independientes. QED