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La respuesta es sí. Puede encontrar una exposición en Teoría de campos de la materia condensada de Altland y Simons, a partir de la página 134 de la segunda edición. Los problemas vienen de que el espín no se puede describir con un Hamiltoniano que sea función de $q$ :s y su conjugado $p$ :s. Sin embargo, la formulación más general de la mecánica hamiltoniana en términos de colectores simplécticos permite una descripción del espín. Altland y Simons citan el artículo de Arnold Métodos matemáticos de la mecánica clásica como referencia para ello. Es una joya infravalorada.
Por lo tanto, cuando construimos la integral de trayectoria consideramos que las trayectorias son trayectorias en el espacio de fases, $p$ :s y $q$ :s. Creo que para entender esto en términos geométricos tenemos que volver a lo "básico". En la formulación de Lagrange tenemos coordenadas $q$ y velocidades $\dot q$ . Las coordenadas pueden ser coordenadas de cualquier colector (por eso el formalismo lagrangiano es tan útil para los sistemas con restricciones), de modo que las velocidades son en realidad vectores tangentes. Así pues, la mecánica lagrangiana se formula de forma natural en haces tangentes. Pero podemos tomar la transformada de Legendre y pasar al formalismo hamiltoniano con $p$ :s y $q$ :s. Esto nos lleva al haz cotangente, para $$p_i = \frac{\partial L}{\partial \dot q^i}$$ es la forma 1 que es $\partial L /\partial \dot q^i$ en el campo vectorial $\dot q^i$ y 0 en los demás campos vectoriales de coordenadas.
Sin embargo se puede hacer toda la mecánica hamiltoniana en cualquier colector que viene con un estructura simpléctica . Una estructura simpléctica es una 2-forma $\omega$ tal que $d\omega = 0$ y para cada vector $v$ , $\omega(v, \cdot)$ no es la 1-forma cero. (Se puede pensar en $\omega$ como una especie de métrica antisimétrica). Esto es lo que hace Arnold en su libro. El haz cotangente viene naturalmente con tal $\omega$ : $$\omega = dp_1 \wedge dq_1 + \ldots dp_n \wedge dq_n$$ (esta 2-forma es independiente de su elección de coordenadas $q$ ). El hamiltoniano es una función sobre $M$ por lo que en el caso particular de un haz cotangente, se puede tomar como una función del $p$ :s y $q$ :s.
Ahora puedes acoplar momento angular orbital al potencial vectorial con $p$ :s y $q$ :s. Pero, ¿cómo hacerlo con el momento angular intrínseco, es decir, el espín? Queremos un Hamiltoniano como $$H = \mathbf B \cdot \mathbf S.$$ Dado que el espín de una partícula tiene una magnitud definida, la parte dinámica del espín es su dirección . Así pues, este Hamiltoniano se define en una variedad como $T^* M \times S^2$ (Pongo el primer factor porque $\mathbf B$ puede, por supuesto, variar en el espacio). Por supuesto, esto depende de $S^2$ que tenga un $\omega$ pero se puede tomar la forma de volumen $$\omega = \sin\theta\; d\theta \wedge d \varphi$$ con $\theta, \varphi$ las coordenadas habituales.
Por lo tanto, las trayectorias que utilices en tu construcción de la integral de trayectoria para el espín deben ser trayectorias sobre la esfera, y puedes utilizar $\theta, \varphi$ como coordenadas. En el caso cuántico existe una complicación formal, ya que nuestros estados también tienen fases. Esto significa que en realidad deberíamos utilizar trayectorias en $SU(2)$ ya que un estado de espín arbitrario siempre puede escribirse como $$|g\rangle := g\vert\uparrow \rangle$$ donde $\vert\uparrow\rangle$ es un estado de referencia. Así que la resolución de la identidad insertada para construir la integral de trayectoria debe ser $$\operatorname{id} \int_{SU(2)} \vert g \rangle \langle g\vert$$ (la integración es con respecto a un $SU(2)$ -forma de volumen invariante). Esto conduce a un término adicional, el habitual $\partial_\tau$ en la integral de la trayectoria. Sin embargo resulta que la fase es irrelevante para este término, por lo que el la integral de trayectoria es realmente sobre trayectorias en la esfera $S^2$ . Encontrará el cálculo detallado en Altland y Simons.
