Integral 4D con límites

Question

¿Cuál es la respuesta para la siguiente integral?

$\int\int\int e^{-\lambda(x+y+z)}dx\ dy\ dz$

delimitada por:

$x+y < \tau,\ y+z < \tau\ ,x \ge 0,\ y \ge 0,\ z \ge 0$

Answer 1

Solo coloca los límites correctos y ten un poco de paciencia:

$$\begin{eqnarray*}\int_{0}^{\tau}\int_{0}^{\tau-x}\int_{0}^{\tau-y}e^{-\lambda x}e^{-\lambda y}e^{-\lambda z}\,dz\,dy\,dx &=&\frac{1}{\lambda}\int_{0}^{\tau}\int_{0}^{\tau-x}e^{-\lambda x}e^{-\lambda y}\left(1-e^{-\lambda(\tau-y)}\right)\,dy\,dx\\&=&\color{red}{\frac{1-e^{-2\lambda \tau}-2\lambda\tau e^{-\lambda\tau}}{\lambda^3}}.\end{eqnarray*}$$