Dificultad para comprender una prueba

Question

Actualmente estoy leyendo la prueba del Teorema $5.9$ del periódico La estructura ideal del producto tensorial de Haagerup de $C^{\ast}$ -algebras . Sea $A$ y $B$ sea $C^{\ast}$ -y $K$ sea un ideal cerrado de $A\otimes^h B$ que satisface, para cualquier par de ideales cerrados $I$ y $J$ de $A\otimes^hB$ satisfaciendo $I \cap J \subseteq K$ entonces $I \subseteq K$ o $J\subseteq K$ . En la prueba se escribe lo siguiente.

Elegir ideales cerrados $M$ y $N$ de $A$ y $B$ respectivamente que son maximales con respecto a la propiedad de que $M \otimes^h B+ A\otimes^h N \subseteq K$ .

No soy capaz de seguir este paso. ¿Puede alguien por favor explicar cómo se elige ideales cerrados $M$ y $N$ que satisfaga la relación anterior.

Answer 1

Aquí funciona un argumento típico del Lemma de Zorm.

Sea $$ \mathcal F=\{(M,N):\ M\lhd A,\ N\lhd B,\ M \otimes^h B+ A\otimes^h N \subseteq K\}, $$ ordenados por inclusión puntual ( $(M_1,N_1)\leq (M_2,N_2)$ significa $M_1\subset M_2$ , $N_1\subset N_2$ ). La familia $\mathcal F$ no es vacío, ya que $(\{0\},\{0\})\in\mathcal F$ . Supongamos que $\{(M_j,N_j)\}$ es una cadena en $\mathcal F$ . Entonces $(M_\infty,N_\infty)$ donde $M_\infty=\bigcup_jM_j$ y $N_j=\bigcup_jN_j$ es un límite superior para la cadena. En efecto, utilizando que el producto tensorial es el cierre del producto algebraico y que $K$ está cerrado, se obtiene $M_\infty \otimes^h B+ A\otimes^h N_\infty \subseteq K$ . Así que $\mathcal F$ admite un elemento maximal $(M,N)$ . Y $M$ y $N$ están cerrados, ya que de lo contrario $(\overline M,\overline N)$ contradice la maximalidad.