¿Pueden expresarse las matemáticas de la física sin conjuntos incontables?

Question

Me estoy preguntando esto y me lo he preguntado durante un tiempo. Normalmente la física se modela usando cosas basadas en la recta numérica real. $\mathbb{R}$ que es incontable. (Por ejemplo, podemos utilizar potencias de $\mathbb{R}$ podemos utilizar $\mathbb{C}$ podemos utilizar "colectores" que esencialmente pegan "piezas deformadas" de $\mathbb{R}^n$ Pero ¿es posible prescindir de este conjunto incontable, y de los conjuntos incontables en general, y seguir haciendo TODOS de las matemáticas utilizadas en TODOS teorías físicas que se apoyan en pruebas empíricas?

En concreto, existe un tipo de matemáticas denominadas "análisis constructivo" (un subcampo de las "matemáticas constructivas" más generales) y un enfoque de las mismas consiste en desechar $\mathbb{R}$ y sustituirlo por el subcampo de los "números reales computables", que son números reales para los que podemos escribir un programa informático (posiblemente intratable desde el punto de vista computacional, pero no imposible) para aproximarnos a cualquier $\epsilon$ de precisión (donde $\epsilon$ es un número racional). Esto reduce nuestro conjunto de números reales a un conjunto contable, y si mantenemos todos nuestros otros objetos computables también, podemos hacer una buena cantidad de análisis. Hay algunas advertencias: por ejemplo, la igualdad no es decidible, sólo podemos decir si dos reales computables están dentro de un rango dado. $\epsilon$ Sin embargo, esto puede no ser un problema, ya que se ajusta perfectamente a la forma en que funciona la ciencia empírica: nunca podemos demostrar realmente que dos magnitudes físicas son iguales mediante mediciones empíricas, sólo que son iguales dentro de unos límites determinados. $\epsilon$ es decir, nuestro error de medición. Por ejemplo, sinceramente, no podemos decir que la masa de un fotón sea 0, sólo podemos decir que es $<10^{-18}\ \mathrm{eV}$ al menos, según Wikipedia. Otra advertencia es que la convergencia monótona acotada falla: podemos encontrar una convergencia monótona acotada computable secuencia de reales computables que no tiene supremum. Pero a pesar de esto, como he dicho, se puede hacer diferenciación, integración, etc . También tiene algunas otras propiedades interesantes, por ejemplo, todas las funciones son continuas.

Teniendo esto en cuenta, ¿es posible lo que estoy sugiriendo? ¿O hay algún tipo de matemática en física que por alguna razón requiere conjuntos incontables? ¿Podemos hacer todas las pruebas matemáticas necesarias para que las matemáticas de la física funcionen en estos conjuntos construibles y contables, y quizás incluso mejor, sin pruebas por contradicción, es decir, lógica intuicionista y sin ley del medio excluido?

Answer 1

En primer lugar, un pequeño apunte histórico. Que yo sepa, en matemáticas constructivas se pueden construir conjuntos incontables, por ejemplo los reales, ya que la forma habitual de introducirlos (mediante cortes de Dedekind) es construible, es decir, implica un proceso contable. Por supuesto, no se hace con un método de número finito de pasos, pero sí que es construible. La mayoría de la gente que está descontenta con las matemáticas incontables está descontenta con el razonamiento lógico "incontable/no constructivo": el punto fundamental es el uso del axioma completo no constructivo de elección, opuesto a alguna versión más débil (por ejemplo, elección contable o elección dependiente). Por supuesto, el intuicionismo tiene un enfoque más no estándar que la simple restricción del axioma de elección, pero aparte de la libro de Bishop (que no sea puramente intuicionista), no conozco ningún otro enfoque sistemático y riguroso para reproducir las matemáticas conocidas de forma constructivista. Sin embargo en lo que sigue me atengo a la pregunta del OP.

El problema con los métodos finitistas/constructivistas en física matemática (en mi opinión también con no asumir el axioma completo de elección, pero en ese caso los problemas eventuales son más difíciles de detectar) no es que tengas pruebas experimentales de conjuntos no construibles. Obviamente en los experimentos y mediciones hay errores que impiden decir con certeza que una cantidad tiene este valor preciso, y también un supuesto número real nunca se calcularía con total precisión.

Los problemas que tiene son de dos tipos:

• No hay pruebas experimentales de un universo constructivo . Quiero decir que al igual que no se puede hacer ningún experimento para demostrar con absoluta certeza que una cantidad se mide por un número real, tampoco se puede hacer ningún experimento para demostrar con absoluta certeza que una cantidad es construible. En ese punto, las matemáticas intuicionistas/construibles y las matemáticas "estándar" están en el mismo terreno.

• El poder predictivo de las matemáticas constructivistas es inferior al de las matemáticas estándar . Este es, en mi opinión, el argumento más importante. La importancia de la física teórica y matemática es hacer predicciones . Un resultado matemático es importante para la física siempre que pueda interpretarse como el modelo de un sistema concreto y haga predicciones que concuerden con los experimentos. En ese contexto, dado que con las matemáticas estándar se pueden demostrar muchos más resultados que con los métodos constructivistas, se puede predecir eficientemente una física mucho más interesante que puede confirmar observaciones, o probarse en otras nuevas. No hay modelos constructivistas, y sospecho que sería extremadamente difícil o imposible tener alguno, que describan tan bien como las matemáticas estándar la mecánica clásica, la mecánica cuántica o la relatividad. La modelización de la física matemática moderna hace predicciones utilizando matemáticas altamente no triviales que no son constructivistas en absoluto. Reproducir eso con matemáticas constructivistas sería muy poco trivial, si no imposible, e incluso si se consiguiera emplearía un aparato matemático muy difícil (porque una demostración constructiva es a menudo más difícil que una demostración estándar, ya que tienes herramientas menos potentes con las que trabajar).

Answer 2

Las matemáticas para la física (y para todos los demás campos también) pueden sólo expresarse sin conjuntos incontables.

¿Qué significa express ¿algo X, por ejemplo comunicar X en discurso, diálogo o al menos monólogo? "X", el nombre de X, debe ser realizado por medios físicos es decir, al escribir, o al hablar, o al pensar, o con qué otras herramientas se pueda contar. Esto ocurrirá en un dominio del espacio-tiempo que no desaparecerá. Cada dominio del espacio-tiempo contiene infinitas coordenadas espacio-temporales racionales, al menos una de las cuales debe reservarse para realizar "X".

Como ha demostrado Cantor, el conjunto de coordenadas espaciotemporales racionales, incluso en un universo infinito y eterno, es contable. Eso demuestra que todas las expresiones (incluidos, por cierto, todos los "números diagonales" jamás creados) pertenecen a un conjunto contable. Los conjuntos incontables nunca pueden desempeñar un papel en expresado matemáticas que como nombres de conjuntos imaginarios pero, con respecto a sus elementos individuales, no completamente imaginables.