Cómo dar sentido a esta trama $x-\sum[(\text{oddsteps})\mod 3]$

Question

Intento entender este gráfico $y=x-\sum\limits_1^x(i\mod 3)$ donde $i$ es el número de pasos impar para $x$ alcanzar $1$ en una secuencia de Collatz. (parcela de $x$ de $1$ a $9\cdot 10^6$ )

El gráfico debe interpretarse del siguiente modo: como $x$ aumentar, si $i\equiv 2\mod3$ que $y$ baja, si $i\equiv 1\mod3$ que $y$ permanece igual, y si $i\equiv 0\mod3$ que $y$ sube. Todo parece dar una especie de sinusoidal.

La tendencia es crecer, estabilizarse, luego decrecer, luego estabilizarse... con una regularidad notable que me resulta desconcertante

¿Existe alguna estructura conocida en el número de pasos de impar que pueda explicar esta estructura repetitiva?

Aquí está el código para producir el gráfico:

Pari/GP

nbrOddTo1(n)=j=0;while(n>1,if(n%2==1,j+=1;n=(3*n+1)/2,n=n/2));return(j);
b=3;a=0;for(x=1,1000000,a=a+(b-1)/2-nbrOddTo1(x)%b;write("out.csv",round(a)));

Pitón anaconda

import pandas as pd
pldata = pd.read_csv('out.csv')
pldata.plot(figsize=(40,20),grid=True)

Estos son los resultados para $y=\frac{b-1}{2}\cdot x-\sum\limits_1^x(i\mod b)$ para $b=4,5,6,7$ pero sólo hasta $10^6$ esta vez EDITAR (no he tenido mucho tiempo todavía, pero aquí está una comparación con la observación de Eric hasta $9\cdot 10^6$ ):

In blue
a=0;for(x=1,10000000,a=a+1-nbrOddTo1(x)%3;write("out.csv",a));
In red
a=0;for(x=1,10000000,a=a+1-ceil(5*log(x)/log(4/3))%3;write("out.csv",a));

Answer 1

Utilizando una heurística probabilística, el cociente de enteros Impares sucesivos tiene una media de $\frac{3}{4}$ así que empezando con un entero impar $x$ entonces $\bar{n} = $ el número medio de enteros Impares en una secuencia para alcanzar $1$ viene dado por: $$x\left(\frac{3}{4}\right)^\bar{n} = 1$$ así que $$\bar{n} = \frac{\ln(x)}{\ln(\frac{4}{3})}$$ Así que deberíamos tener algo como $$n = \bar{n} + noise$$ $n$ tendrá el comportamiento medio de $\bar{n}$ . La separación entre ceros, la separación entre picos y la altura de los picos deberían crecer algo así como $\ln(x)$ . En $x$ aumenta hay espacios crecientes entre valores enteros sucesivos de $\textit{round}(\bar{n})$ donde su suma tenderá a cambiar en la dirección de $(\textit{round}(\bar{n}) \textit{ mod } 3) - 1$ .

La función $y \textit{ % } 3 - 1$ debe tener una media de $0$ al azar $y$ . La suma de esta función actúa como un filtro de suavizado o de paso bajo. Si tuviéramos un gráfico de dispersión de $y$ vs $x$ parecerá ruido, pero al sumar, la estructura media subyacente se hace visible. Supuse que la estructura se debía al valor medio esperado de $nbrOddTo1(x)$ pero no coincide empíricamente y la frecuencia de cambio de $\bar{n}$ es un factor de $5$ a bajo. He aquí un gráfico de su función (sólo para los números de partida de impar, que presumiblemente deberían coincidir más con $\bar{n}$ ) superpuesto con $\bar{n}\textit{ % }3 - 1$ . He aquí un gráfico superpuesto con superpuesto con $(5 \bar{n}) \textit{ % }3 - 1$ . Esto parece mejor pero no entiendo por qué. Revisaré mi código pero no hay ningún factor obvio de 5 por ahí.

La función de Collatz $3x+1$ es análogo a un generador de números pseudoaleatorios lineal congruente. Se sabe que tienen todo tipo de estructuras y fallan estrepitosamente en pruebas de aleatoriedad como la prueba espectral. Véase Knuth, The Art of Computer Programming Vol 2, capítulo sobre Números Aleatorios.