Algunos ejemplos básicos de grupos fundamentales étale

Question

Estoy intentando comprender mejor los grupos fundamentales de étale, y creo que la idea general, la visión de conjunto, empieza a estar clara, pero mi capacidad de cálculo parece esencialmente inexistente.

Creo que entiendo algunos de los ejemplos más sencillos (como $\pi(\text{Spec }K)$ cuando $K$ es un campo), pero ¿podría alguien explicar un ejemplo un poco más complicado (al menos desde mi punto de vista)? Quizás (para alejarnos de los ejemplos que implican campos) algo como $\pi(\text{Spec }\mathbb{Z}[X])$ ou $\pi(\text{Spec }\mathbb{Z}[1/p])$ ?

Answer 1

Creo que $\pi(\text{Spec } \mathbf Z[1/p])$ es el grupo de Galois de la extensión máxima de $\mathbf Q$ unramified outside $p$ .

Por otra parte, creo que $\pi(\text{Spec }\mathbf Z[X])$ es trivial. Si $Y$ fuesen finitos etéreos sobre $\mathbf Z[X]$ para cada $n$ el cambio de base $Y_n$ de $Y$ bajo el mapa $$\mathbf Z[X] \to \mathbf Z : X \mapsto n$$ sería étale finito sobre $\mathbf Z$ y, por tanto, trivial (ya que seguramente sabe que $\pi(\mathbf Z) = 0$ ). Parece que los coeficientes de un polinomio que define $Y$ tendría que desaparecer en cada número entero...

Por algo el grupo fundamental étale es difícil o incluso imposible de calcular. Los grupos absolutos de Galois, el caso más sencillo, ¡son muy difíciles de calcular! (¿Qué significa siquiera "calcular" el grupo de Galois absoluto de $\mathbf Q$ ? No lo sé).

Otro buen ejemplo son las curvas elípticas. Si $E/\mathbf Q$ es una curva elíptica, entonces $\pi(E) = TE,$ el módulo Tate "global" de $E$ : $$TE = \varprojlim_n E[n],$$ donde los números enteros se ordenan por divisibilidad ( $E[n]$ denota el $n$ -torsión de $E$ en $\overline{\mathbf Q}$ ). Se trata de un $\widehat{\mathbf Z}$ -de rango $2$ (nótese que es abeliano, algo poco frecuente en un grupo fundamental). Este es el " $\text{GL}_2$ " análogo del hecho (que probablemente también sepa) de que $\pi(\mathbf G_m) = \widehat{\mathbf Z}$ donde $\mathbf G_m = \text{Spec }\mathbf Q[X, X^{-1}]$ es el grupo multiplicativo sobre $\mathbf Q$ . La prueba es la siguiente: si $f: E' \to E$ es un recubrimiento étale finito de grado $n$ entonces $E'$ debe tener género $1$ por Riemann-Hurwiz. Extendiendo posiblemente el campo base, adquiere un punto, de tal manera que $f$ se convierte en una isogenia. Precomponiendo $f$ con la isogenia dual, obtenemos el mapa $E \to E' \to E$ que no es más que la multiplicación por $n$ en $E$ (que se define sobre $\mathbf Q$ !). Así, la multiplicación por $n$ forman un sistema cofinal en la categoría de coberturas étale finitas, y el resultado se deduce.

Además, no es casualidad que el grupo fundamental (en el sentido habitual) de un toro sea $\mathbf Z^2$ ¡!

Answer 2

La introducción de Lenstra a Teoría de Galois para esquemas es muy suave y analiza algunos ejemplos básicos:

Propuesta (Corolario 6.17): Si $X$ es un esquema integral normal con campo de funciones $K$ et $M$ es el compuesto de todas las extensiones separables finitas $L$ de $K$ en algún cierre algebraico fijo $\overline{K}$ tal que $X$ no está ramificado en $L$ entonces $\pi_1(X)$ es isomorfo al grupo de Galois $\mathrm{Gal}(M/K)$ .

En particular (Ejercicio 6.27): Si $X$ es una curva suave con campo de funciones $K$ entonces $\pi_1(X)$ es el cociente $\mathrm{Gal}(K^{sep}/K) / N$ donde $N$ es el subgrupo cerrado generado por todos los subgrupos de inercia $I_x$ con $x \in X$ cerrado.

Ejemplos (6.18, 6.22, 6.23, 6.24)

• Si $K$ es un campo numérico y $A=\mathcal{O}_K$ , $a \in A$ , $X=\mathrm{Spec}(A[1/a])$ entonces $M/K$ es la mayor extensión de Galois umramificada en todos los primos distintos de cero que no dividen a $a$ .
• $\pi_1(\mathrm{Spec}(\mathbb{Z}))=\{1\}$ (ya que el Teorema de Minkowski implica que toda extensión algebraica propia de $\mathbb{Q}$ ramifica en algún número primo).
• $\pi_1(\mathrm{Spec}(\mathbb{Z}_p)) = \widehat{\mathbb{Z}}$
• Si $K$ es un campo, entonces $\pi_1(\mathbb{P}^1_K)=\pi_1(\mathrm{Spec}(K))$
• Si $K$ es un campo de característica $0$ entonces $\pi_1(\mathbb{A}^1_K)=\pi_1(\mathrm{Spec}(K))$
• Si $A$ es un anillo finito, entonces $\pi_1(\mathrm{Spec}(A)) \cong \prod_{\mathfrak{m} \in \mathrm{Spec}(A)} \hat{\mathbb{Z}}$ .

Ejercicios (6.31 $-$ 6.40)

• $\pi_1(\mathbb{A}^1_{\mathbb{Z}})$ y $\pi_1(\mathbb{P}^1_{\mathbb{Z}})$ son triviales.
• El homomorfismo de anillo $\mathbb{Z}_p \to \mathbb{Z}/p^n$ induce un isomorfismo $\pi_1(\mathrm{Spec}(\mathbb{Z}/p^n)) \to \pi_1(\mathrm{Spec}(\mathbb{Z}_p))$ .
• Si $A$ es un anillo local completo con campo de clase de residuo $k$ entonces $\pi_1(\mathrm{Spec}(A)) \cong \pi_1(\mathrm{Spec}(k))$ .
• $\pi_1(\mathrm{Spec}(\mathbb{Z}[i]))$ y $\pi_1(\mathrm{Spec}(\mathbb{Z}[(1 + \sqrt{-3})/2]))$ son triviales.
• $\pi_1(\mathrm{Spec}(\mathbb{Z}[\zeta_{20}]))$ y $\pi_1(\mathrm{Spec}(\mathbb{Z}[(1 + \sqrt{-163})/2]))$ son triviales.
• $\pi_1(\mathrm{Spec}(\mathbb{Z}[\sqrt{-5}]))$ tiene orden dos.
• $\pi_1(\mathrm{Spec}(\mathbb{Z} \times_{\mathbb{Z}/(6)} \mathbb{Z})) \cong \widehat{\mathbb{Z}}$
• $\pi_1(\mathrm{Spec}(\mathbb{Z}[x]/(x^6-1))) \cong \widehat{\mathbb{Z}}$
• $\pi_1(\mathrm{Spec}(\mathbb{Z}[\sqrt{-3}]))$ tiene orden dos.

Permítanme terminar con la siguiente observación: Cada grupo profinito surge como el grupo fundamental de algún esquema conexo. Véase aquí .