¿Por qué la extensión lineal de los idempotentes de un álgebra de Banach es un ideal de Lie?

Question

En https://arxiv.org/pdf/1505.04503.pdf se mencionó que "el tramo lineal de los idempotentes es un ideal de mentira".

Me pregunto dónde puedo encontrar una prueba de ello.

Sea $A$ sea un álgebra de Banach y sea $\chi$ sea el tramo lineal de los idempotentes. Queremos demostrar que $ax-xa \in \chi$ para todos $x\in \chi, a\in A$ . A partir de aquí, no estoy seguro de cómo utilizar las propiedades de los idempotentes para demostrarlo.

Agradeceremos cualquier referencia o sugerencia.

Answer 1

El conmutador $[a,x]$ es lineal en $x$ por lo que basta con considerar el caso en que $x$ es idempotente. Ahora observa que $$[a,x]=[a,x^2]=x[a,x]+[a,x]x$$ por lo que basta con demostrar que $x[a,x]$ está en el intervalo de los idempotentes (ya que entonces también lo está $[a,x]x$ por simetría). Pero observe que $$x[a,x]x=xax-xax=0$$ así que $$(x+x[a,x])^2=x+x[a,x]$$ y así $x[a,x]$ es una combinación lineal de los idempotentes $x$ y $x+x[a,x]$ .

La siguiente perspectiva puede ayudar a aclarar lo que está pasando aquí (y de hecho es como se me ocurrió el argumento anterior). Dado que $x$ es idempotente, podemos descomponer $A$ como suma directa $$xAx\oplus xA(1-x)\oplus (1-x)Ax\oplus (1-x)A(1-x).$$ Además, si representamos elementos de $A$ como $2\times 2$ utilizando esta descomposición de suma directa, podemos multiplicarlas utilizando la multiplicación de matrices, con $x$ correspondiente a $\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0\end{pmatrix}$ (donde escribo la entrada superior izquierda como $1$ desde $x$ es de hecho la unidad del álgebra $xAx$ y también actúa como unidad en $xA(1-x)$ y $(1-x)Ax$ ). Podemos entonces calcular que el conmutador de $x$ con una matriz $\begin{pmatrix} a & b \\ c & d\end{pmatrix}$ es $\begin{pmatrix}0 & -b \\ c & 0\end{pmatrix}$ . Pero ahora observe que cualquier matriz de la forma $\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ c & 0\end{pmatrix}$ es idempotente, por lo que tomando combinaciones lineales podemos obtener cualquier matriz $\begin{pmatrix} 0 & 0 \\ c & 0\end{pmatrix}$ . Del mismo modo, podemos obtener cualquier matriz $\begin{pmatrix} 0 & b \\ 0 & 0\end{pmatrix}$ como una combinación lineal de idempotentes, y por tanto nuestro conmutador es una combinación lineal de idempotentes.