Integral definida mediante integración de contorno

Question

Quiero calcular lo siguiente utilizando la integración de contornos: $$\int_{0}^{\infty}\frac{1}{x^8+1}dx$$ He visto integrales de $\frac{1}{(x^2+1)}$ mediante la integración de contornos haciendo uso de $\frac{1}{x^2+1}=\frac{1}{(x+i)(x-i)}$ . ¿Utilizo un método similar para este problema?

Answer 1

Desde $f(z)=\frac{1}{z^8+1}$ es una función de decaimiento rápido como $|z|\to+\infty$ la integral de $f(z)$ en un semicírculo de radio $R$ centrada en el origen, perteneciente a la región $\text{Im}(z)\geq 0$ llega a cero cuando $R\to +\infty$ . Eso sólo da: $$ I = \int_{0}^{+\infty}\frac{dz}{z^8+1}=\frac{1}{2}\int_{\mathbb{R}}\frac{dz}{z^8+1}=\pi i\sum_{\xi\in Z}\text{Res}(f(z),z=\xi) $$ donde $Z$ es el conjunto de los polos de $f(z)$ en el semiplano superior, a saber: $$ Z=\left\{\exp\left(\frac{\pi i}{8}\right),\exp\left(\frac{3\pi i}{8}\right),\exp\left(\frac{5\pi i}{8}\right),\exp\left(\frac{7\pi i}{8}\right)\right\}.$$ También puede sustituir $x^8+1$ por $u$ a continuación, aprovechar las propiedades de la función Beta y la fórmula de reflexión para el $\Gamma$ para demostrarlo: $$ I = \frac{\pi}{8\sin\frac{\pi}{8}}=\color{red}{\frac{\pi}{4\sqrt{2-\sqrt{2}}}}.$$