Volumen de una cuña cilíndrica

Question

Me gustaría calcular el volumen de la siguiente cuña cilíndrica

(la parte en amarillo) utilizando una integral.

El plano que corta la cuña pasa por la parte inferior del cilindro, dando lugar a una elipse como sección transversal de la cuña.

La elipse tiene eje mayor $R$ y eje menor $r$ .

El eje mayor de la elipse forma un ángulo $\theta_{0}$ con el eje vertical/extremo del cilindro. Tenemos las siguientes relaciones

$$R\cos\theta = r$$

$$h=R\sin\theta_{0}=r\tan\theta_{0}$$

donde $h$ es la altura de la cuña cilíndrica.

¿Cómo planteo una integral para este volumen?

Answer 1

Si cortas con un plano desde la punta de un disco extremo del cilindro hasta el otro disco extremo, entonces tu problema es simétrico (girando media vuelta a lo largo del eje menor de la elipse). Así que básicamente calcula el volumen del cilindro delimitado por las secciones verticales en los puntos extremos de la elipse y divídelo por $2$ .

El volumen del cilindro es, pues $$h \cdot \frac{\pi \cdot r^2}{4} = \big( R \cdot \sin(\theta_0) \big) \cdot \left(\frac{\pi}{4} \cdot R^2 \cdot \cos^2(\theta_0)\right) = \frac{\pi}{4} R^3 \sin(\theta_0)\cos^2(\theta_0)$$ Y su resultado final es así : $$ \frac{\pi}{8} R^3 \sin(\theta_0)\cos^2(\theta_0) $$

Se trata de un "hack" que aprovecha la simetría. La forma coherente es integrar a lo largo de $h$ la función del área de una sección vertical del volumen amarillo, pero es más tedioso.

Answer 2

Debido a la simetría de una mitad, sin utilizar la integración, su volumen es directamente

$$ \frac12 \cdot \frac{\pi r^2 } {4} \cdot (r\, \tan \theta_o ) $$