Una condición necesaria obvia es que los tamaños de todos los $A_i$ es el mismo, digamos $m\times n$ .
Si $p\geq m$ y $q\geq n$ entonces podemos tomar $$ H=\begin{bmatrix} I_{m}&0_{m\times(p-m)}\end{bmatrix}\ \ \ \ \Delta_i=\begin{bmatrix}A_i&0_{m\times(q-n)}\\0_{(p-m)\times n}&0_{(p-m)\times(q-n)}\end{bmatrix},\ \ \ \ E=\begin{bmatrix}I_n\\0_{(q-n)\times n}\end{bmatrix} $$
Si $p<m$ decimos, rápidamente nos metemos en problemas. Por ejemplo $$ A_1=\begin{bmatrix}1&2 \end{bmatrix},\ \ A_2=\begin{bmatrix}3&4\end{bmatrix}, $$ with $p=1$, $q=1$. The sizes of $H$ and $E$ are forced to be $1\times 1$ and $1\times 2$. Say we put $$\Delta_1=\begin{bmatrix}\alpha \end{bmatrix},\ \ \ \Delta_2=\begin{bmatrix}\beta \end{bmatrix}.$$
Así que $A_1=H\Delta_1 E$ y $A_2=H\Delta_2 E$ son $$ \begin{bmatrix}1&2 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} H_1 \end{bmatrix}\begin{bmatrix}\alpha \end{bmatrix}\begin{bmatrix}E_{1}&E_{2}\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}\alpha H_1E_1&\alpha H_1E_2\end{bmatrix} $$ y $$ \begin{bmatrix}3&4 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} H_1 \end{bmatrix}\begin{bmatrix}\beta \end{bmatrix}\begin{bmatrix}E_{1}&E_{2}\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}\beta H_1E_1&\beta H_1E_2\end{bmatrix}. $$ Es decir, necesitamos $$ 1=\alpha H_1E_1,\ \ 3=\beta H_1E_1,\ \ 2=\alpha H_1E_2,\ \ 4=\beta H_1E_2. $$ Ninguno de los parámetros puede ser cero. Pero entonces las dos primeras ecuaciones dan $$ \frac1\alpha=\frac3\beta, $$ mientras que el segundo da $$\frac2\alpha=\frac4\beta.$$
Así que no existe factorización.
