Sea D un divisor R amplio, ¿es el redondeo [mD] muy amplio para cualquier número m suficientemente divisible?
Creo que es verdad. Pero no sé cómo organizar un argumento.
Respuestas
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No estoy seguro de que sea la prueba más corta, pero creo que es una prueba.
Sea $A=$ haz de líneas muy amplio. Tras sustituir D por un múltiplo, se puede suponer que $$C=D - K_X - (n+1) A$$ es amplio donde $n=\dim X$ .
Por Angehrn y Siu, sabemos que $$K_X+(n+1)A + \text{(ample line bundle)}$$ es muy amplio.
Ahora $$[mD] = K_X+ (n+1) A + C + [mD] - D$$
y sólo tienes que asegurarte de que $[mD]+C-D$ es amplio si $m\gg 0$ . Esto es fácil de comprobar por aproximación diofantina.
Vincent
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Al principio una pregunta: Si he entendido bien, la operación de redondeo hacia abajo depende de su elección de la base para el grupo de Néron-Severi, ¿verdad?
Así que estoy asumiendo que fijar una base $D_1, \ldots, D_k$ de $NS(X) \otimes_\mathbb{Z} \mathbb{R}$ y para cada $D := \sum_j r_jD_j$ se define $[mD] := \sum [mr_j]D_j$ .
Si esto es cierto, ¿no se deduce su afirmación del siguiente hecho geométrico?
Sea $C$ sea un cono de dimensión completa en $\mathbb{R}^k$ y $K$ sea el cubo estándar de longitud $2$ en $\mathbb{R}^k$ centrado en el origen, es decir
$K := \lbrace\sum_{j=1}^k s_je_j: -1 \leq s_j \leq 1$ para todos $j$ , $1 \leq j \leq k \rbrace$ ,
donde $e_1, \ldots, e_k$ son vectores unitarios a lo largo de los ejes. Si $v$ pertenece al interior de un cono de dimensión completa $C$ en $\mathbb{R}^k$ entonces $mv + K$ también se encuentra en el interior de $C$ para todas las $m$ .
Si como base eliges divisores amplios, entonces $K$ puede sustituirse por un cubo de longitud uno.
Edita 3: Este es mi tercer intento de dar una prueba elemental. Es esencialmente la misma prueba que en las ediciones 1 y 2, pero con algunas correcciones, y espero que sea más clara. Espero que veas que la idea es muy simple y geométricamente casi obvia. Si parece complicada, el fallo está en mi exposición.
Prepáralo: Sea $D_1, \ldots, D_k$ sean divisores amplios y $D := \sum_j r_jD_j$ para números reales positivos $r_1, \ldots, r_k$ . Además $D_j = \sum_{i=1}^N a_{ji} C_i$ para divisores irreducibles $C_i$ y números enteros $a_{ji}$ . Queremos demostrar que $[mD]$ es muy amplio para grandes $m$ .
En la demostración utilizaremos el siguiente hecho sobre sumas finitas de puntos integrales en una red:
Lema: Sea $v_1, \ldots, v_k \in \mathbb{Z}^N$ tal que $\mathbb{Z}$ -span of $v_j$ 's es igual a $\mathbb{Z}^N$ . Sea $P$ sea el casco convexo (sobre $\mathbb{R}$ ) de $\lbrace 0, v_1, \ldots, v_k \rbrace$ . Entonces existe un número real positivo $c$ tal que para todo $n \geq 1$ si $v \in nP \cap \mathbb{Z}^N$ tal que la distancia (euclidiana) de $v$ tanto desde el origen como desde el límite de $nP$ es mayor que $c$ entonces $v$ es de hecho una combinación lineal integral no negativa de $v_1, \ldots, v_k$ .
La afirmación anterior (en realidad, una formulación más precisa de la misma) se debe a Khovanskii. La prueba es muy elemental y bella, y se encuentra en la Proposición 2 de este artículo.
Aquí empieza la prueba:
Paso 1: Sin pérdida de generalidad, podemos suponer que $\mathbb{Z}$ -span of $D_j$ es igual al $\mathbb{Z}$ -span of $C_i$ 's. De hecho, se deduce de Criterio de Kleiman, y la dimensionalidad finita de $N_1(X)$ que para cada $m \gg 1$ y $\epsilon := (\epsilon_1, \ldots, \epsilon_N) \in \lbrace 1, 0, -1 \rbrace^N$ , $D_{m,\epsilon} := mD_1 + \sum_{i=1}^N\epsilon_i C_i$ es amplio. La elección de diferentes valores de $\epsilon$ y $m$ y añadiendo $D_{m,\epsilon}$ a la colección de $D_j$ podemos garantizar que $\mathbb{Z}$ -span of $D_j$ es igual al $\mathbb{Z}$ -span of $C_i$ 's. Además, y esto es esencial, elegir $D_{m,\epsilon}$ se acerque lo suficiente al rayo generado por $D_1$ podemos garantizar que $D$ todavía yace en el interior del cono generado por $D_j$ es decir $D = \sum_{j=1}^k r_jD_j$ con cada $r_j$ siendo un positivo número real.
Paso 2: Para cada $j$ , $1 \leq j \leq k$ , dejemos que $v_j := (a_{j1}, \ldots, a_{jN}) \in \mathbb{R}^N$ es decir $v_j$ es el vector "coordenada" de $D_j$ para cada $j$ (y por lo tanto $v_j \in \mathbb{Z}^N$ para cada $j$ ). Añadiendo algunos múltiplos grandes de $D_j$ a la colección existente de $D_j$ si es necesario, podemos suponer que $v := \sum r_j v_j$ está en el interior del casco convexo $P$ de $0, v_1, \ldots, v_k$ .
Paso 3: Para cada $j$ , $1 \leq j \leq k$ existe un número entero positivo $m_j$ tal que $mD_j$ es muy amplio para todos $m \geq m_j$ . De hecho, hay $l_j, n_j$ tal que $n_jD_j$ es muy amplio y $mD_j$ se genera globalmente para todos los $m \geq l_j$ . Configuración $m_j := l_j + n_j$ hace el trabajo (debido al Ejercicio II.7.5(d) de Hartshorne).
Paso 4: Existe un número entero positivo $m_0$ tal que $m_0(D_1 + \cdots +D_k) + \sum s_jD_j$ es muy amplia para todas las colecciones de enteros no negativos $s_1, \ldots, s_k$ . En efecto, set $m_0 := \max \lbrace m_1, \ldots, m_k \rbrace$ y aplicar el mismo ejercicio de Hartshorne.
Paso 5: Dejar que $v, v_1, \ldots, v_k$ y $P$ como en el paso 2. Sea $c$ sea la constante que obtenemos de aplicar el lema de Khovanskii a $v_1, \ldots, v_k$ . Sea $v_0 := m_0(v_1 + \cdots + v_k)$ donde $m_0$ es como en el paso 4. Dado que $v$ está en el interior de $P$ se deduce que si $m$ es suficientemente grande, entonces $[mv] - v_0$ está en el interior de $mP$ y la distancia de $[mv] - v_0$ desde el origen y el límite de $mP$ es mayor que $c$ . Por lo tanto, el lema de Khovanskii implica que $[mv] - v_0 = \sum a_j v_j$ para números enteros no negativos $a_j$ . En consecuencia, si $m$ es suficientemente grande, entonces
$$[mD] = m_0(D_1 + \cdots + D_0) + \sum a_j D_j$$
para números enteros no negativos $a_1, \ldots, a_k$ . El paso 4 dice entonces que $[mD]$ es muy amplio.
