¿Qué es un difeomorfismo?

Question

Estoy buscando una definición/explicación simple (es decir, como un esbozo con poca geometría diferencial) de lo que es un difeomorfismo es. Intenté leer la página de la Wiki pero no tenía sentido para mí como físico.

Para dar un poco de contexto, estoy leyendo un libro que dice que porque alguna propiedad de un campo tensorial $h_{\mu\nu}(x)$ se conserva bajo transformación infinitesimal de coordenadas por los campos $\xi_{\mu}(x)$ entonces estos difeomorfismos son una simetría de la teoría.

Answer 1

Un difeomorfismo se presenta típicamente como un mapa suave, diferenciable e invertible entre múltiples (o más bien, entre puntos de una múltiple a puntos de otra múltiple). Por ejemplo, tomemos dos hojas de papel y doblemos una de ellas. Existe un difeomorfismo que relaciona puntos de las dos hojas.

Suena como si estuvieras aprendiendo sobre vectores asesinos. Los cambios de coordenadas pueden considerarse difeomorfismos: en lugar de un reetiquetado pasivo de puntos, se está deformando activamente el espaciotiempo para darle otra forma, pero una que sólo cambia por la transformación de coordenadas. Normalmente, los tensores siguen una ley de transformación estricta bajo transformaciones del sistema de coordenadas, pero los vectores de Killing corresponden a una simetría en la que la ley de transformación no produce ningún cambio. Un buen ejemplo sería la simetría traslacional en el espacio euclídeo. Puedes mover un sistema como quieras, y aparte de que los puntos se vuelven a etiquetar, los campos en sí no cambian.

Answer 2

Además de las otras respuestas creo que la foto de Wikipedia dice mucho:

Imaginemos, pues, unos objetos pesados que estiran el espaciotiempo bajo R.G., entonces el espacio dejaría de ser plano o euclidiano para convertirse en una versión morfada. Si la transformación es suave en algún sentido del cálculo, entonces estamos trabajando dentro de la categoría de las variedades suaves y los difeomorfismos son los mapas que permanecen iguales.

En cuanto a por qué es una simetría de la teoría: cualquier cambio en el sistema que conserve alguna propiedad o invariante está manteniendo algo igual, de ahí lo de igual-dad = igual-etría = simetría.

Answer 3

Una cartografía que 1) isomorfo, es decir, 1-1 y onto; 2)diferenciable, con un mapa inverso que tiene las mismas características que el mapa original.

Se puede considerar como un mapa suave $f:S_1\to S_2$ que son biyectivas y cuyo mapa inverso $f^{-1}: S_2\to S_1$ que son biyectivas y cuyo mapa inverso $f^{-1}: S_2\to S_1$ es suave.