Función del valor absoluto en $\int \frac{dx}{\sqrt{1-x^2}}$

Question

En la derivación del valor de la integral indefinida \begin{equation} \int \frac{dx}{\sqrt{1-x^2}}, \end{equation} Puedo sustituir $x = \sin(u)$ , $dx = \cos(u)du$ para conseguir esto: \begin{equation} \int \frac{\cos(u)du}{\sqrt{1-\sin^2(u)}} = \int \frac{\cos(u)du}{\lvert \cos(u)\rvert} \overset{?}{=} \int du = u = \arcsin(x), \end{equation} Pero soy escéptico sobre la división del coseno regular sobre el valor absoluto del coseno...

Answer 1

$$\dfrac{d(\sin u)}{du}=\cos u$$

Si $u=\arcsin x,\sin u=x$ y $\dfrac\pi2\le u\le\dfrac\pi2\implies\cos u\ge0$

y en consecuencia, $\cos u=+\sqrt{1-x^2}$

et $$\dfrac{d(\arcsin x)}{dx}=\dfrac{du}{d(\sin u)}=\dfrac1{\cos u}=?$$

Pero sabemos que $$\displaystyle\dfrac{dy}{\sqrt{a^2-y^2}}=\dfrac1{|a|}\arcsin\dfrac xa+K$$