¿La serie $\frac{1}{(\log{n})^4}$ convergen?

Question

He utilizado la prueba de comparación para demostrar que diverge:

$$\frac{1}{n}<\frac{1}{(\log{n})^4}$$

Pero, ¿es esto correcto?

Answer 1

Su comparación es correcta - para $n$ lo suficientemente grande. Al fin y al cabo, equivale a $(\ln n)^4<n$ y utilizando $e^x\ge 1+x$ tenemos $$n=e^{\ln n}=(e^{\frac15\ln n})^5\ge (1+\frac15\ln n)^5>\frac1{5^5}(\ln n)^5 >(\ln n)^4$$ al menos tan pronto como $\ln n>5^5$ .