Lo que entiendo y lo que no entiendo de este esquema proyectivo

Question

Estoy pensando en un caso concreto para intentar fijar algunas ideas.

Supongamos que $ S = \frac{k[x,y,z]}{(x^{2}+y^{2}-z^{2})}, $ y $ S $ se clasifica de forma natural. Un punto de $ \text{Proj}(S) $ que no está cerrado es el punto genérico $ (0) $ porque $ \overline{(0)} = \text{Proj}(S). $ ¿Hay otros puntos no cerrados?

Reconozco que los puntos cerrados de $ \text{Proj}(S) $ corresponden a puntos de $ V(x^{2}+y^{2}-z^{2}), $ y a pesar de saber que los ideales maximales corresponden clásicamente a puntos, siento que esquema-teóricamente, no veo realmente por qué.

En cuanto a los conjuntos abiertos homogéneos distinguidos:

$ D_{+}(z) = \text{Spec}\Big[S \Big[\frac{1}{z}\Big]\Big]_{0} = \text{Spec}\frac{k[\frac{x}{z},\frac{y}{z}]}{\Big(\frac{x^2}{z^2} + \frac{y^2}{z^2} -1 \Big)}. $

Así que el $ D_{+}(f) $ es una cónica para $ f \in S_{+}, $ y, en particular, cuando $ \text{deg}(f) = 1. $

Answer 1

Obsérvese que el ideal cero de $S$ en no primo si $\operatorname{char}k=2$ como entonces $$x^2+y^2-z^2=(x+y+z)^2.$$ Si $\operatorname{char}k\neq2$ entonces es primo, que no voy a verificar aquí (aunque no es difícil hacerlo).

Un punto no cerrado de $\operatorname{Proj}(S)$ es un ideal primo homogéneo no máximo de $S$ que no contenga el ideal irrelevante $(x,y,z)\subset S$ . Porque $S/(x,y,z)\cong k$ es un campo, no hay ideales primos no máximos que contengan al ideal irrelevante. Así que se busca un ideal primo homogéneo de $S$ que no sea máxima.

Un ejemplo es el ideal $I=(x,y-z)$ que contiene $(x^2+y^2-z^2)$ porque $$x^2+y^2-z^2=x\cdot x+(y+z)\cdot(y-z).$$ Es un ideal primario porque $$S/I=(k[x,y,z]/(x^2+y^2-z^2))/(x,y-z)\cong k[x,y,z]/(x,y-z)\cong k[t],$$ es un dominio, y $I$ no es máxima porque $k[t]$ no es un campo.

¿Puede encontrar más ejemplos? Y algo más que lo ahora obvio $I'=(y,x-z)$ ?