Sobre la cerrazón débil de una bola cerrada con fijo $L^2$ -en un espacio periódico de Sobolev

Question

Preliminares: Sea $\mathrm{L}_P^2$ denotan el espacio de Hilbert de $P$ -periódicas, localmente cuadrada-integrable funciones $f\colon \mathbb{R} \to \mathbb{C}$ con representación en serie de Fourier $$f(x) \sim \sum_{n \in \mathbb{Z}} \hat{f}_n \, \varphi_n (x),$$ donde $$\hat{f}_n = \langle f, \varphi_n \rangle_{\mathrm{L}_P^2} = \int_0^P f(x) \overline{\varphi(x)} \, \mathrm{d}x$$ son los coeficientes de Fourier de $f$ con respecto a las funciones de base ortonormales $$\varphi_n(x) = \frac{1}{\sqrt{P}} \, \mathrm{e}^{2 \pi \mathrm{i} n x / P}.$$ Defina también el espacio periódico de Sobolev $$\mathrm{H}_P^1 = \left\{ f \in \mathrm{L}_P^2 : \|f \|_{\mathrm{H}_P^1}^2 = \sum_{n \in \mathbb{Z}} \left(1 + \frac{4 \pi^2 n^2}{P^2}\right) \big|\hat{f}_n\big|^2 < \infty \right\}.$$

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Pregunta: Dado un radio $R > 0$ y un parámetro $\mu > 0$ es el subconjunto $$V = \left\{ f \in \mathrm{H}_P^1 : \|f \|_{\mathrm{H}_P^1} \leq R \quad \text{and} \quad\|f \|_{\mathrm{L}_P^2} = \mu \right\}$$ débilmente cerrado?

Intento de solución 1: Observe que $V$ es la intersección de una bola cerrada, que es débilmente cerrada, y el conjunto $$U = \left\{ f \in \mathrm{H}_P^1 : \|f \|_{\mathrm{L}_P^2} = \mu \right\},$$ y, por tanto, el cierre débil de $V$ seguirá siempre que el último conjunto sea débilmente cerrado. No obstante, las funciones de base $\varphi_n$ convergen débilmente a $0$ en $\mathrm{H}_P^1$ por la desigualdad de Bessel. Dado que $\|\varphi_n \|_{\mathrm{L}_P^2} = \mu$ (convenientemente escalado), el último $U$ no puede ser débilmente cerrada, por lo que nuestra respuesta es no.

Intento de solución 2: Tratando de establecer que $U$ es débilmente cerrado. Supongamos que $U \ni f_n \rightharpoonup f$ en $H_P^1$ . Desde $(L_P^2)^* \subset (H_P^1)^*$ se deduce que $f_n \rightharpoonup f$ en $L_P^2$ también. Además, por el teorema de Rellich-Kondrachov, $H_P^1$ está compactamente embebido en el espacio de $P$ -funciones continuas periódicas $C_P$ con la norma uniforme. Por lo tanto, como $\{f_n\}_n$ es débilmente convergente y, por tanto, acotada, existe una subsecuencia $\{f_{n_k}\}_k$ que converge uniformemente a algún $g \in C_P$ . A continuación, la convergencia uniforme implica $L^2$ -convergencia en el caso periódico, por lo que $f_{n_k} \to g$ en $L_P^2$ y, por lo tanto $\|g \|_{L_P^2} = \mu$ .

Queda por demostrar que $f = g$ . ¿Alguna idea?

Answer 1

La solución se basa en Solución intento 2 :

Tratando de establecer que $U$ es débilmente cerrado. Supongamos que $U \ni f_n \rightharpoonup f$ en $H_P^1$ .

Por el teorema de Rellich-Kondrachov, $H_P^1$ está compactamente embebido en el espacio de $P$ -funciones continuas periódicas $C_P$ con la norma uniforme. Por lo tanto, como $\{f_n\}_n$ es débilmente convergente y, por tanto, acotada, existe una subsecuencia $\{f_{n_k}\}_k$ que converge uniformemente a algún $g \in C_P$ . A continuación, la convergencia uniforme implica $L^2$ -convergencia en el caso periódico, por lo que $f_{n_k} \to g$ en $L_P^2$ y, por lo tanto $\|g \|_{L_P^2} = \mu$ .

Queda por demostrar que $f = g$ . Desde $(L_P^2)^* \subset (H_P^1)^*$ se deduce que $f_n \rightharpoonup f$ en $H_P^1$ implica $f_n \rightharpoonup f$ en $L_P^2$ también. Además, la convergencia fuerte implica convergencia débil, y por tanto $f_{n_k} \rightharpoonup g$ en $L_P^2$ . Por último, las subsecuencias de una sucesión débilmente convergente deben converger al mismo límite, por lo que $f = g$ .