Compruebe un $\epsilon-\delta$ prueba de $\lim_{ (x,y) \to (3,1)} \frac{x}{y} = 3$

Question

Voy a probar $$\lim_{ (x,y) \to (3,1)} \frac{x}{y} = 3$$ utilizando $\epsilon-\delta$ argumento.

Mis intentos

Análisis preliminar

Por cada $\epsilon >0$ tenemos que encontrar un $\delta$ tal que:

Si $\Vert (x,y)-(3,1)\Vert _2 < \delta$ puis $\left| \frac{x}{y} - 3\right| < \epsilon.$

Tenga en cuenta en primer lugar que $$\left| \frac{x}{y} - 3\right| = \left| \frac{x}{y} - 3y + 3y -3\right| \le \left|\frac{1}{y}\right||x-3| + 3|y-1|.$$

Es evidente que $$|x-3| \le \Vert (x,y)-(3,1)\Vert_2\; \text{and} \; |y-1| \le \Vert (x,y)-(3,1)\Vert_2.$$

Supongamos que $\Vert (x,y)-(3,1)\Vert_2 < \frac{1}{2}$ puis $|y-1| <\frac{1}{2}.$ Como resultado tenemos $$\frac{1}{2} < y < \frac{3}{2} \Longrightarrow \frac{1}{|y|} < 2.$$

Por lo tanto, $$\left| \frac{x}{y} - 3\right| \le \left|\frac{1}{y}\right||x-3| + 3|y-1|< 2\delta+3\delta = 5\delta.$$

Prueba formal

Por cada $\epsilon > 0$ debemos elegir $$\delta= \min\left\{\frac{1}{2}, \frac{\epsilon}{5}\right\}.$$

Si $\Vert (x,y)-(3,1)\Vert _2 < \delta$ puis $\left| \frac{x}{y} - 3\right| < \epsilon.$

¿Es correcta mi prueba?

Answer 1

Su prueba no es correcta porque

$\left|\dfrac xy-3\right|=\left|\dfrac xy-3y+3y-3\right|\leqslant\left|\dfrac1y\right||x-3|+3|y-1|$

es errónea (véase mi comentario).

Así que podrías proceder de la siguiente manera:

$\begin{align}\left|\dfrac xy-3\right|&=\left|\dfrac 1y\right|\,\big|x-3y\big|=\left|\dfrac 1y\right|\,\big|x-3-3\big(y-1\big)\big|\leqslant\\&\leqslant \left|\dfrac1y\right|\bigg(\big|x-3\big|+3\big|y-1\big|\bigg).\end{align}$

Para cualquier $\,\varepsilon>0\,,\,$ elegimos $\,\delta=\min\left\{\dfrac12,\dfrac{\varepsilon}8\right\}>0\,.$

Si $\;\big\Vert(x,y)-(3,1)\big\Vert_2<\delta\,,\;$ puis

$\big|x-3\big|\leqslant\big\Vert(x,y)-(3,1)\big\Vert_2<\delta\;\;,$

$\big|y-1\big|\leqslant\big\Vert(x,y)-(3,1)\big\Vert_2<\delta\;\;,$

$\left|\dfrac1y\right|=\dfrac1{\big|1+(y\!-\!1)\big|}\leqslant\dfrac1{1-\big|y\!-\!1\big|}<\dfrac1{1\!-\!\delta}\leqslant\dfrac1{1\!-\!\frac12}=2\;.$

En consecuencia,

$\left|\dfrac xy-3\right|\leqslant \left|\dfrac1y\right|\bigg(\big|x-3\big|+3\big|y-1\big|\bigg)<2\big(\delta+3\delta\big)=8\delta<\varepsilon\,.$