Me temo que su pregunta es muy amplia y dudo que pueda responderse en su totalidad.
Empecemos por aquí.
Para $n\in \mathbb{N}$ denotemos por $\pi(n)$ el conjunto de divisores primos de $n$ .
Definición. En gráfico primo de un grupo finito $G$ denotado $\Gamma(G)$ es un grafo con un conjunto de vértices $\pi(|G|)$ con una arista entre primos $p$ y $q$ si y sólo si existe un elemento de orden $pq$ en $G$ .
Su pregunta requiere, entre otras cosas, saber cuántos elementos de orden $pq$ hay en el grupo por cada dos primos $p,q$ dividiendo $|G|$ y, en particular, si ese número es distinto de cero. Por tanto, responder a su pregunta también nos daría la respuesta a "¿Cuáles son todos los grafos primos posibles de un grupo finito?" (De hecho, no sería más que un pequeño corolario.) Sin embargo, los grafos primos son objeto de investigación continua, y aún quedan muchos problemas sin resolver en el mundo de los grafos primos (la mayoría de los cuales son más sencillos que una caracterización completa).
Sin embargo, tal vez podamos reformular su pregunta en este lenguaje. Los gráficos pueden generalizarse a hipergrafos que se componen de un conjunto de vértices $V$ y un conjunto de aristas $E\subseteq \mathcal{P}(V)$ (es decir, la restricción de que las aristas deben conectar como máximo dos vértices en $V$ se elimina).
Para $n\in \mathbb{N}$ denotemos por $\overline{\pi}(n)$ el conjunto de potencias primos divisores de $n$ .
Definición. Definir el hipergrama de potencias primo ponderadas de un grupo finito $G$ como el hipergrafo $\Gamma_H(G)$ con un conjunto de vértices $\overline{\pi}(n)$ con un hyperedge $S$ si y sólo si los elementos de $S$ son pares coprimos y existe un elemento de orden $\prod_{s\in S}s$ en $G$ . Además, dejemos que cada arista $S$ recibir el peso $w_S$ que es igual al número de elementos de orden $\prod_{s\in S}s$ en $G$ .
Tenga en cuenta que $\sum_{S\in E}w_S=|G|$ . Naturalmente, podemos definir además un orden total estricto en el conjunto de aristas de $\Gamma_H(G)$ donde $S<T\Leftrightarrow \prod_{s\in S}s<\prod_{t\in T}t$ . Clasificar los pesos por este orden equivale a su $x_k$ secuencia.
Así pues, tu pregunta es precisamente "¿cuáles son todas las posibles secuencias ordenadas de pesos del hipergrafo de potencias primos de un grupo finito?", lo cual es claramente una pregunta muy complicada.
Lo único que puedo decir al respecto es lo siguiente. Para grupos solubles $G$ se ha demostrado que $|\pi(|G|)|\leq 4\text{rank}(\Gamma_H(G))$ asintóticamente. Además, se conjetura que $|\pi(|G|)|\leq 3\operatorname{rank}(\Gamma_H(G))$ para todos los grupos solubles. Por lo tanto, para los grupos solubles, siempre tendrás que contar los pesos de las aristas cuyo tamaño sea al menos un tercio del tamaño del conjunto de vértices.
Para avanzar, le sugeriría que intentara acotar sustancialmente su pregunta. Podría restringir su pregunta a una determinada clase de grupos ( $p$ -¿grupos abelianos? ¿grupos simétricos?). Además, creo que sería más probable encontrar una respuesta si se eliminara la condición de ordenación en $x_k$ ya que añade un nivel de dificultad al problema que sospecho que supera cualquier posible conocimiento que pudiera aportar.
Para más información, le recomiendo mi respuesta a este pregunta similar relativa a los conjuntos de órdenes de elementos, una noción relacionada con la suya.
