Preservación de la desigualdad con diferencia de funciones cóncavas

Question

Supongamos que para algún valor de $z$ Tengo una desigualdad

$$f \left( \phi(z) + \gamma_1(z)\right) - f\left(\phi(z) + \gamma_2(z)\right) < c,$$

donde $\phi$ es decreciente en $z$ y $\gamma_i$ está aumentando en $z$ para $i=1,2$ . Todos los valores son positivos.

Me interesa saber cómo se mantiene esta desigualdad a medida que variamos $z$ . En concreto, supongamos que esta desigualdad se cumple para algún $z_0$ . ¿Cuándo se mantendrá también para cualquier $z<z_0$ ?

Por ejemplo, cuando $f$ y $\gamma_i$ son lineales, decrecientes $z$ debe preservar la desigualdad. Sin embargo, ¿qué ocurre si $f$ ¿es cóncava? Mi conjetura es que la desigualdad se mantiene en tal caso. ¿Qué métodos puedo utilizar para demostrar esto y entender cómo se conserva la desigualdad para otros supuestos sobre $f,\phi,\gamma_i$ ?

Answer 1

Incluso si suponemos que $f(x)=x$ para cada $x$ la desigualdad requerida se transforma en la desigualdad

$$\gamma_1(z) - \gamma_2(z) < c$$

para funciones crecientes $\gamma_i$ . Si se cumple para $z=z_0$ entonces puede fallar para algunos $z<0$ . Por ejemplo $\gamma_1(z)=z$ , $\gamma_2(z)=2z$ , $z_0=0$ , $z=-1$ y $c=1$ .