La evaluación de la integral indefinida $\int\sqrt{16-9x^2}\,dx$

Question

Necesito resolver la integral de abajo, pero yo solo no puedo averiguar cómo.

$$\int \sqrt{16-9x^2}\,dx$$

He probado a sustituir a $9x^2$$16\sin^2\theta$. Llego a un punto en el que tiene la siguiente función. Por favor, hágamelo saber si estoy en el camino correcto, y por favor, que me explique cómo terminarlo...

$$ \frac {16}3 \int \cos^2\theta \,d\theta\ $$

Answer 1

Sugerencia: $$\cos^2\theta=\frac{1}{2}(1+\cos(2\theta))$$

---

Edit: Además, después de algunos cálculos, estoy bastante seguro de que has cometido un error (¿alguien puede una doble comprobación de esto?)

Tienes $\displaystyle\frac{4}{3}\int\cos^2\theta d\theta$, pero la sustitución de $9x^2=16\sin^2\theta$ nos da lo siguiente:

$$\sqrt{16-9x^2}=\sqrt{16-16\sin^2\theta}=\sqrt{16(1-\sin^2\theta)}=\sqrt{16\cos^2\theta}=4\cos\theta$$

y desde $x=\frac{4}{3}\sin\theta$, tenemos $dx=\frac{4}{3}\cos\theta d\theta$, por lo que

$$\displaystyle\int\sqrt{16-9x^2}dx=\int4\cos\theta\cdot\left(\frac{4}{3}\cos\theta d\theta\right)=\frac{16}{3}\int\cos^2\theta d\theta$$

y aquí está la manera de hacer el resto

$\displaystyle\frac{16}{3}\int\cos^2\theta d\theta=\frac{16}{3}\int\left(\frac{1}{2}\left(1+\cos 2\theta)\right)\right)=\frac{8}{3}\int\left(1+\cos 2\theta\right)=\frac{8}{3}\left(\theta +\frac{1}{2}\sin2\theta+C\right)$. Desde $\sin\theta =\frac{3x}{4}$, $\theta=\sin^{-1}\left(\frac{3x}{4}\right)$ $\sin2\theta = \sqrt{16-9x^2}$ $\displaystyle\int\sqrt{16-9x^2}dx$ evalúa a $\displaystyle\frac{8}{3}\sin^{-1}\left(\frac{3x}{4}\right)+\frac{1}{2}x\sqrt{16-9x^2}+C$

Edit: (dirección de OP preguntas, ya que este es el comentario no se muestra ahora correctamente en la sección de comentarios). Después de multiplicar $\frac{8}{3}$$\frac{1}{2}\sin\theta$,$\displaystyle\frac{4}{3}\sin2\theta=\frac{4}{3}(2\sin\theta\cos\theta)=\frac{8}{3}\sin\theta\cos\theta=\frac{8}{3}\cdot\left(\frac{3x}{4}\right)\cdot\left(\frac{\sqrt{16-9x^2}}{4}\right)$, luego cancelar en que la recibe.

Answer 2

Sugerencia tan lejos y Tan bien! La técnica estándar para el manejo de esta integrando es invocar el doble ángulo de identidad $$\cos 2 \theta = 2 \cos^2 \theta - 1.$$

Answer 3

$$\int\sqrt{16-9x^2}dx=$$

(Sustituto $x=\frac{4\sin(u)}{3}$$dx=\frac{4\cos(u)}{3}du$$\sqrt{16-9x^2}=\sqrt{16-16\sin^2(u)}=4\cos(u)$$u=\sin^{-1}\left(\frac{3x}{4}\right)$):

$$\frac{4}{3}\int 4\cos^2(u)du=$$ $$\frac{16}{3}\int \cos^2(u)du=$$ $$\frac{16}{3}\int \left(\frac{1}{2}\cos(2u)+\frac{1}{2}\right)du=$$ $$\frac{8}{3}\int \cos(2u)du+\frac{8}{3}\int 1 du=$$

(Sustituto $s=2u$$ds=2du$):

$$\frac{4}{3}\int \cos(s)ds+\frac{8}{3}\int 1 du=$$ $$\frac{4\sin(s)}{3}+\frac{8}{3}\int 1 du=$$ $$\frac{4\sin(s)}{3}+\frac{8u}{3}+C=$$ $$\frac{4\sin(2u)}{3}+\frac{8u}{3}+C=$$ $$\frac{8u}{3}+\frac{8}{3}\sin(u)\cos(u)+C=$$ $$\frac{8u}{3}+\frac{8}{3}\sin(u)\sqrt{1-\sin^2(u)}+C=$$ $$\frac{8\left(\sin^{-1}\left(\frac{3x}{4}\right)\right)}{3}+\frac{8}{3}\sin\left(\left(\sin^{-1}\left(\frac{3x}{4}\right)\right)\right)\sqrt{1-\sin^2\left(\left(\sin^{-1}\left(\frac{3x}{4}\right)\right)\right)}+C=$$

$$\frac{1}{2}\sqrt{16-9x^2}x+\frac{8}{3}\sin^{-1}\left(\frac{3x}{4}\right)+C$$

Así:

$$\int\sqrt{16-9x^2}dx=\frac{1}{2}\sqrt{16-9x^2}x+\frac{8}{3}\sin^{-1}\left(\frac{3x}{4}\right)+C$$

Answer 4

$\frac{16}{3}\int(cos^2\theta)$

= $\frac{16}{3}\int\frac{1-cos2\theta}{2}$

= $\frac{16}{6}\int(1-cos2\theta)$

= $\frac{16}{6}(\int(1) - \int(cos2\theta))$

= $\frac{16}{6}\theta$ - $\frac{16}{6}\int(cos2\theta)$

= $\frac{8}{3}\theta$ - $\frac{8}{3}\int(cos2\theta)$

= $\frac{8}{3}\theta$ - $\frac{8}{3}(\frac{1}{2})\int(cos(v))$, sustituto $v = 2\theta$

= $\frac{8}{3}\theta$ + $\frac{4}{3}sin(v)$

= $\frac{8}{3}\theta$ + $\frac{4}{3}sin(2\theta)$

= $\frac{8}{3}\theta$ + $\frac{4}{3}(2) sin(\theta) cos (\theta)$

= $\frac{8}{3}arcsin(\frac{3}{4}x)$ + $\frac{8}{3}(\frac{3x}{4})$$\frac{sqrt (16-9x^2)}{4}$

= $\frac{8}{3}arcsin(\frac{3}{4}x)$ + $\frac{1}{2}x[sqrt (16-9x^2)]$ + C

Answer 5

$$\frac{16}{3}\int\cos^2\theta\,d\theta=\frac{16}{3}\int\frac{1+\cos2\theta}{2}d\,\theta=\frac{8}{3}\int(1+\cos2\theta)d\,\theta=\frac{8}{3}(\theta+\frac{1}{2}\sin2\theta)$$ $$9x^2=16\sin^2\theta\Rightarrow\sin\theta=\frac{3x}{4}\Rightarrow\theta=sin^{-1}(\frac{3x}{4})$$ $$\sin\theta=\frac{3x}{4}\Rightarrow \cos\theta=\sqrt{1-sin^2\theta}=\frac{\sqrt{16-9x^2}}{4}$$
$$\sin2\theta=2\sin\theta\cos\theta=\frac{3x\sqrt{16-9x^2}}{8}$$ así que la respuesta es:
$$\int \sqrt{16-9x^2}\,dx=\frac{16}{3}\int\cos^2\theta\,d\theta=\frac{8}{3}(\theta+\frac{1}{2}\sin2\theta)=\frac{8}{3}(\sin^{-1}(\frac{3x}{4})+\frac{3x\sqrt{16-9x^2}}{16})$$