Pruebas matemáticas fáciles o ejemplos visuales para hacer que los estudiantes de secundaria se entusiasmen con las matemáticas

Question

Soy profesor de matemáticas en un instituto. Las matemáticas me han fascinado durante casi toda mi vida, así que me gustaría llevar ese entusiasmo a mis estudiantes con pruebas o demostraciones hermosas pero fáciles de entender. Está dirigido a los estudiantes que están en su último grado de secundaria y que irán a la universidad el próximo año.

Entonces, ¿qué son simples pruebas o ejemplos visuales que te hicieron amar las matemáticas? ¡Cuantos más ejemplos, mejor! ¡Las respuestas con dibujos serían aún mejores!

¡Gracias de antemano!

P.D. Las cosas que ya enseñé a mis estudiantes son: números complejos, teorema de probabilidad, números primos, vectores, funciones de más variables, un poco de teoría de grupos, teoría de conjuntos. Todas estas son cosas que traté de mezclar con las cosas que deberían saber para sus exámenes. Se trata de darles una idea de lo que las matemáticas son en realidad, no sólo repetir fórmulas.

Answer 1

He aquí un ejemplo que me parece estético y que me ha parecido eficaz encontrado efectivo en 8 th -aulas de grado.

Supongamos que desea cortar un triángulo del centro de un papel, no atravesando las tijeras y cortando el perímetro, sino doblando el papel y luego cortando en línea recta a través del papel doblado.

La solución natural es aumentar las bisectrices de los ángulos (en rojo), y valle-creciente (verde punteado) una "perpendicular" desde el incentro $x$ :

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        (Figura de Cómo plegarlo: Las matemáticas de los enlaces, el origami y los poliedros .)

Lo que me parece tan agradable es que cuando se realiza esto físicamente, las bisectrices de los ángulos se encuentran en un punto $x$ (el incentro), y uno capta Proposición 4, Libro IV de Euclides visceralmente. Ingenuamente, bien podría ser que las bisectrices no se encuentren en un punto. Pero el arrugamiento cuidadoso muestra experimentalmente que sí lo hacen.

Esta demostración táctil me ha parecido más convincente para (alumnos de 8º grado que una demostración euclidiana a dos columnas.

(Esto repite el contenido de mi respuesta a una pregunta relacionada).

Answer 2

Mi profesor en $\pi$ día durante el club de matemáticas hizo el El experimento de la aguja de Buffon (excepto con palitos), lo que nos pareció sumamente genial. Y un punto a favor es que la prueba es relativamente sencilla, ya que sólo requiere conocimientos básicos de probabilidad y cálculo.

La probabilidad de que un palo cruce una línea es $$P={{2l}\over{t\pi}}$$ donde $t$ es la distancia entre las líneas paralelas y $l$ es la longitud del palo, por lo que si se quiere aproximar $\pi$ directamente, que $t=2l$ entonces calcula ${{total sticks} \over {crossed}}\approx \pi$

Answer 3

Voy a ampliar mi comentario, ahora que tengo algo de tiempo.

Para los estudiantes de secundaria, me gustan mucho las ideas del tipo de las matemáticas discretas, en particular la combinatoria. En primer lugar, la gran mayoría de los estudiantes son nunca expuestos a estas ideas (salvo los coeficientes binomiales, y éstos, si se introducen, son sólo símbolos extraños utilizados para expandir $(a+b)^n$ (según mi experiencia). Y, en segundo lugar, suelen requerir relativamente pocos conocimientos previos y ofrecen la posibilidad de pensar visualmente.

$\bullet$ En primer lugar, que la suma de la primera $n$ impar, enteros positivos es $n^2$ . Actualmente estoy enseñando una clase de álgebra de recuperación en la universidad, y utilicé lo siguiente como pregunta extra en el primer examen:
"Esta imagen muestra que $1 + 3 + 5 + 7 + 9 = 5^2$ . ¿Qué opinas? $1 + 3 + 5 + \ldots + 99$ ¿será? No te preocupes por simplificar, prefiero que dejes la respuesta como $[something]^2$ . Puede probar su conjetura para ver si tiene sentido para $1,\ 1 + 3,\ 1 + 3 + 5,$ y $1 + 3 + 5 + 7$ , que también se muestra convenientemente en la imagen".

He acertado algunas respuestas (una especialmente impresionante, ya que utilizaban cuadrados para contar cuántos números Impares había de $1$ a $99$ ), y lo que es más sorprendente, todo el mundo se quedó después de clase ¡al día siguiente para preguntarme cómo solucionarlo! Puede estar seguro de que esto ha nunca sucedido con el material del plan de estudios.

$\bullet$ Para ampliar los coeficientes binomiales, hay que tener en cuenta que un subconjunto de $\{1,2,3,4,5\}$ como por ejemplo $\{1, 3, 4\}$ determina de forma única una secuencia $$\underset{1}{L}\ R\ \underset{3}{L}\ \underset{4}{L}\ R$$ de pasos a la izquierda/derecha, y por lo tanto caminos (del tipo que se encuentra en este pdf ) desde la parte superior del Triángulo de Pascal, hasta un punto determinado, se cuentan por el coeficiente binomial $5 \choose 3$ de una manera muy natural.

Esta es también una ruta muy agradable para llegar a la famosa identidad $${n - 1 \choose k - 1} + {n - 1 \choose k} = {n \choose k},$$ ya que cualquier camino que termine en el punto representado debe pasar por uno de los dos puntos adyacentes por encima de él; simplemente sumamos los números de esos caminos para ver que ${4 \choose 2} + {4 \choose 3} = {5 \choose 3}$ como un ejemplo sin cálculos. Y por supuesto, al cambiar las L por las R, debemos tener ${n \choose k} = {n \choose {n-k}}$ .

Answer 4

Hotel Hilbert y otras discusiones contraintuitivas sobre la contabilidad son siempre divertidas.

Un tema menos abstracto, pero aún así contraintuitivo, podría ser el El problema de Monty Hall .

Answer 5

$$\begin{align}x = 0.999\ldots \\ 10x = 9.999\ldots\end{align}$$ así que $$ \begin{align} 10x - x = 9x = 9 \\ \implies x = 1 \end{align}$$

También en un triángulo rectángulo con longitud de hipotenusa $c$ , las piernas $a,b$ y algún ángulo $\theta$ al revés de $a$ entonces $$\begin{align}a^2+b^2 = c^2 \\ \implies \frac{a^2}{c^2}+ \frac{b^2}{c^2} = 1 \\ \implies \left(\frac{a}{c}\right)^2+ \left(\frac{b}{c}\right)^2 = 1 \\ \implies \sin^2(\theta)+ \cos^2(\theta) = 1\end{align}$$ Un poco más avanzado para el instituto, podrías demostrar que hay tantos números naturales como enteros.

$$\{1,2,\space \space 3,4,\space \space \space 5,6, \ldots \} \\ \{0,1,-1,2,-2, 3\ldots \}$$ La lista superior contiene claramente todos los naturales, y la inferior contiene claramente todos los enteros. Ninguna de las dos listas es agotable, por lo que se puede emparejar un número natural con cada número entero. Si los alumnos se lo creen, quizá puedas mostrarles que los números racionales son equinuméricos a los naturales...