Una cuestión sobre secuencias exactas y cohomología de grupos

Question

Pregunta:

Si $0\longrightarrow A \longrightarrow B \longrightarrow C \longrightarrow 0,$ es una secuencia exacta de $G$ -entonces demuestre que $$0 \longrightarrow A^G \longrightarrow B^G \longrightarrow C^G \longrightarrow H^1(G,A) \longrightarrow H^1(G,B) \longrightarrow H^1(G,C)$$ es exacta, donde si A es un módulo G, entonces $A^G$ es el conjunto de $G$ -invariantes de $A.$

Intento:

El mapa $A^G \longrightarrow B^G$ es la restricción de $A \longrightarrow B$ a $A^G.$ (y del mismo modo, el mapa $B^G \longrightarrow C^G$ ). El mapa $\eta:H^1(G,A) \longrightarrow H^1(G,B)$ se define del siguiente modo. Si $j:A\longrightarrow B$ y $h\in Z^1(G,A),$ entonces $\eta(\bar{h})=\overline{j\circ h}$ donde bar indica los cocientes de $B^1(G,A)$ y $B^1(G,B).$

He probado todo excepto el hecho de que ${\rm im}(H^1(G,A) \longrightarrow H^1(G,B))=\ker(H^1(G,B) \longrightarrow H^1(G,C)).$ ¿Podría alguien ayudarme con esto, por favor? Gracias.

Answer 1

Sea $f: A \to B, g:B \to C$ sean los mapas correspondientes. Entonces el mapa $H^1(G,A) \to H^1(G,B)$ se define por $\phi \mapsto f \circ \phi$ y lo mismo para $H^1(G,B) \to H^1(G,C)$ .

De ello se deduce que $\text{Im}(H^1(G,A) \to H^1(G,B)) \subseteq \text{Ker}(H^1(G,B) \to H^1(G,C))$ . Para la parte difícil $\psi \in \text{Ker}(H^1(G,B) \to H^1(G,C))$ . Entonces $g \circ \psi=0$ en $H^1(G,C)$ esto significa que existe algún $x \in C$ tal que $g \circ \psi(\sigma)=\sigma x - x$ . Desde $g$ es suryectiva, $x=g(y)$ para algunos $y \in B$ . Por lo tanto

$$g(\psi(\sigma))=\sigma g(y)-g(y)=g(\sigma y- y).$$

Sea $\psi'$ se define por $\psi'(\sigma)=\psi(\sigma)-(\sigma y- y)$ . Representa el mismo elemento que $\psi$ en $H^1(G,B)$ y $g \circ \psi'(\sigma)=0$ para todos $\sigma$ . Así, para cada $\sigma \in G$ , $\psi'(\sigma) \in \text{Ker}(g)=\text{Im}(f)$ . Desde $f$ es inyectiva existe un único $a_\sigma$ tal que $\psi'(\sigma)=f(a_\sigma)$ . Sea $\phi: G \to A$ viene dada por $\sigma \mapsto a_\sigma$ . Ahora comprueba que $\phi \in Z^1(G,A)$ Es decir $\phi(\sigma \tau)=\sigma \phi(\tau)+ \phi(\sigma)$ para todos $\sigma, \tau$ .

Por supuesto la pregunta es trivial si conoces los functores derivados y el hecho de que $H^{*}(G,-)=\text{Ext}_{\mathbb{Z}[G]}(\mathbb{Z},-)$ es el funtor derivado derecho de $\text{Hom}_{\mathbb{Z}[G]}(\mathbb{Z},-)=(-)^G$ . Puedes leer sobre ello en un libro de álgebra homológica.