Representación concreta del álgebra aniquilante

Question

Supongamos que $\mathfrak{M} = A^{\prime\prime}$ donde $A$ es una subálgebra descrita concretamente de $\mathcal{B}(\ell^{2}(\mathbb{N}))$ . En algunos casos, es posible proporcionar una descripción concreta de los Operadores en $A''$ . ¿Es posible lo mismo para $A^{\prime}$ ?

Considéralo, p. ej. $G$ un grupo fijo, y ver $L(G)$ como actuando sobre $\mathcal{B}(\ell^{2}(G))$ . ¿Pueden los operadores de $L(G)^{\prime}$ de forma más concreta (que no sea simplemente conmutar con cada $L_{g}$ para $g\in G$ --- donde $L_{g} : \mathbf{e}_{h} \mapsto \mathbf{e}_{gh}$ para cada $g, h\in G$ )?

Answer 1

El caso que mencionas es uno de los pocos en los que la conmutante puede expresarse explícitamente.

A saber, $ L(G)'=R(G), $ donde $R(G) $ es el álgebra de von Neumann de la representación regular derecha $R_g:e_h\mapsto e_{hg} $ .