Aplicación de DCT para mostrar la relación de Mill para $N(0,1)$

Question

Buenos días a todos,

Queremos mostrar $\int_x^\infty e^{-t^2/2}dt \sim\frac{e^{-x^2/2}}{x}$ como $x\rightarrow\infty$ utilizando el Teorema de Convergencia Dominada de Lebesgue (DCT) para la distribución normal estándar.

El problema es que no veo dónde entra el valor esperado (que se utiliza en DCT). Agradecería cualquier comentario.

Answer 1

Tras la sustituciónq $s=t-x$ y $u:=xs$ nos queda demostrar que $$\lim_{x\to +\infty}\int_0^{+\infty}\exp\left(-\frac{u^2}{x^2}\right)\exp(-u)\mathrm du=1.$$ Esto se deduce de la monótono teorema de convergencia.

Por lo tanto, no es necesario utilizar dominado (no obstante, la convergencia dominada también es válida, ya que $u\mapsto e^{-u}\chi_{(0,+\infty)}(u)$ es una función dominante integrable).