Supongamos que $E[X^2Y^2] <\infty$ . ¿Podemos concluir que $E[X^2]<\infty$ ?

Question

Supongamos que $E[X^2Y^2] <\infty$ . ¿Podemos concluir que $E[X^2]<\infty$ , $E[Y^2]<\infty$ $E[|X|]<\infty$ , $E[|Y|]<\infty$ ?

Intento: Si $X^2$ y $Y^2$ no están correlacionadas, entonces $E[X^2Y^2]=E[X^2]E[Y^2]<\infty$ lo que implica $E[X^2]<\infty$ y $E[Y^2]<\infty$ . Se puede concluir $E[X]<\infty$ y $E[Y]<\infty$ entonces $E[|X|]<\infty$ , $E[|Y|]<\infty$ .

¿Hay algún otro supuesto que me permita concluir todas las implicaciones?

Answer 1

He aquí un contraejemplo de todos las reclamaciones: que $X, Y$ definirse en el espacio de probabilidad común $\Omega = [0, 1]$ (y medida de Lebesgue) tal que $$\begin{align*} X(\omega) &= \begin{cases} 1/ \omega, &0 < \omega < 1/2 \\ 0, & \text{otherwise}, \end{cases} \\ Y(\omega) &= \begin{cases} 1/ (1-\omega), &1/2 < \omega < 1 \\ 0, & \text{otherwise}. \end{cases} \end{align*} $$ Tenga en cuenta que $XY(\omega) = 0$ para todos $\omega$ pero que $X, Y$ cada uno tiene una expectativa infinita individualmente.

Lo que hace que este ejemplo funcione es que estas variables son altamente dependiente unos sobre otros....