Comparación de la forma covariante de las ecuaciones de Maxwell con la RG de Einstein

Question

Sabemos que la forma vectorial de las ecuaciones de Maxwell \begin{align} \vec\nabla\cdot\vec{E} &= 4\pi\rho \label{Diff I}\\ \vec\nabla\times\vec{B} &= \dfrac{4\pi}{c} \vec{j}+\dfrac{1}{c}\dfrac{\partial\vec{E}}{\partial t} \label{Diff IV}\\ \vec\nabla\times\vec{E} &= -\dfrac{1}{c}\dfrac{\partial\vec{B}}{\partial t} \label{Diff III}\\ \vec\nabla\cdot\vec{B} &= 0 \label{Diff II} \end{align}

Los dos últimos nos permiten introducir los potenciales: \begin{align} \vec{E} &= -\frac1c \frac{\partial \vec{A}}{\partial t} - \vec\nabla\phi\\ \vec{B} &= \vec\nabla\times\vec A \end{align} que nos habla de la invariancia gauge de las ecuaciones.

Las cuatro ecuaciones de Maxwell pueden escribirse de forma compacta como

\begin{align} \partial_{\mu}F^{\mu\nu} &= \frac{4\pi}{c}j^{\nu} \tag{1}\\ \partial_{[\mu}F_{\alpha\beta]} &= 0\;. \tag{2} \end{align}

Y de acuerdo con la última ecuación, la primera podemos reescribirla (usando la galga preferida) en la forma: \begin{equation} \Box A^{\mu} = -\frac{4\pi}{c} j^{\mu} \end{equation}

Consideremos ahora las ecuaciones GR de Einstein: \begin{equation} R_{\mu\nu} = 8\pi G (T_{\mu\nu} - \frac12g_{\mu\nu}T). \end{equation}

O en " $\Gamma-$ formulario "campo" (se omiten los índices): \begin{equation} \partial \Gamma - \partial \Gamma + \Gamma\Gamma - \Gamma\Gamma = 8\pi G (T_{\mu\nu} - \frac12g_{\mu\nu}T). \end{equation}

Sabemos que en el límite del campo débil las ecuaciones adquieren simplemente una forma externa similar a las de Maxwell (el llamado gravitomagnetismo) en forma de 3 vectores, o en forma covariante: \begin{equation} \Box h_{\mu\nu} = -16\pi G (T_{\mu\nu} - \frac12\eta_{\mu\nu}T) \end{equation}

De ahí la pregunta: ¿Por qué para la forma covariante de las ecuaciones de Maxwell necesitamos dos entidades diferentes de ecuaciones, pero para la RG una sola? O en otras palabras, ¿podemos escribir las ecuaciones de la RG de Einstein para el límite de campo débil de forma similar a las ecuaciones de Maxwell en forma de campo, no mediante potenciales?

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Answer 1

Si quieres comparar la EM de Maxwell con la RG, observa que se obtienen respectivamente a partir de la extensión de un global $U(1)$ varianza a una local y la invarianza de Lorentz a la invarianza bajo transformaciones generales de coordenadas. Así, el equivalente de introducir $A_\mu$ en la derivada covariante gauge está introduciendo símbolos de Christoffel en la conexión, mientras que el conmutador $F_{\mu\nu}$ de las derivadas covariantes gauge es análoga al conmutador $R_{\mu\nu\rho\sigma}$ de conexiones que actúan sobre un campo vectorial. Así pues, el equivalente de (1) son las ecuaciones habituales de Einstein, mientras que el equivalente de (2) es $R_{\mu[\nu\rho\sigma]}=0$ . En ninguno de los dos casos necesita la segunda ecuación; una formulación lagrangiana obtiene la primera, pero la segunda no es más que una tautología.

Answer 2

1. La contrapartida de $(\text{metric }g,\text{curvature }R)$ en GR es $(\text{gauge potential }A,\text{field strength }F)$ en E&M.

2. Si escribe $F=F(A)$ en E&M, entonces la relación de Bianchi (2) no es necesaria/a tautología, cf. e.g.. este Correo de Phys.SE.

3. Por qué GEM aparece como un límite de la RG, véase por ejemplo este Correo de Phys.SE.