Lineal dependencia de polinomios pregunta

Question

Tengo que determinar si los polinomios $p_1(x)=2-x^2$, $p_2(x)=3x$, $p_3(x)= x^2 +x-2$ son linealmente dependientes o independientes, pero no estoy seguro de cómo empezar. Le importa a alguien que me ilumine?

También tengo que averiguar si se extiende $P^{(2)}$.

Answer 1

Usted necesita saber si existen escalares $c_1$, $c_2$, $c_3$ no todos los $0$ tal que $c_1p_1+c_2p_2+c_3p_3=0$. Así: $$\begin{align} & \phantom{{}=} c_1p_1(x)+c_2p_2(x)+c_3p_3(x) \\[6pt] & = c_1 (2-x^2)+c_2(3x)+c_3(x^2+x-2) \\[6pt] & = (c_3-c_1)x^2 + (3c_2)x + 2(c_1-c_3) \\[6pt] & = 0 \text{ for all }x. \end{align}$$ Eso significa que usted necesita $$\begin{align} c_3-c_1& =0 \\[6pt] 3c_2 + c_3 & =0 \\[6pt] 2(c_1-c_3) & =0 \end{align}$$ La pregunta es si de lo que puede suceder si al menos uno de los números de $c_1,c_2,c_3$ no $0$. Y la respuesta es "sí", como usted debe ser capaz de averiguar a partir de ahí. Por lo tanto, ellos son linealmente dependientes.

Tres miembros de una $3$-dimensional espacio vectorial no puede abarcar el espacio a menos que sean linealmente independientes. (Más de tres puede, en algunos casos).

Answer 2

$\{1,x,x^2\}$ forma una base para el espacio de polinomios cuadráticos, y puede representar a su polinomios como vectores en términos de esta base. Por lo tanto, usted necesita simplemente para determinar si la matriz $$\left(\begin{matrix}-1 & 0 & 2\\0 & 3&0\\1&1&-2\end{matrix}\right)$$ es invertible. Claramente no lo es.

Answer 3

Suponiendo que $P^{(2)}$ representa a todos los polinomios sobre algún campo de grado menor o igual a $2$, entonces tu pregunta es la misma, debido a la dimensión de $P^{(2)}$$3$, por lo que si el dado polinomios son linealmente independientes, se debe formar una base de $P^{(2)}$ y, por tanto, span.

Para responder a la pregunta de independencia lineal, podemos asociar a cada polinomio para un vector por tomar líder de los coeficientes. Los vectores obtenidos de esta manera son $(-1,0,2)$, $(0,3,0)$, y $(1,1,-2)$. A ver que estos vectores son linealmente independientes, calcular el determinante de la matriz que determinar: $$\begin{pmatrix} -1&0&2\\ 0&3&0\\ 1&1&-2 \end{pmatrix}$$

Resulta que el determinante de esta matriz es cero, de modo que los vectores no son linealmente independientes. Una dependencia de la relación está dada por:

$$3p_1(x)-p_2(x)+3p_3(x)=0$$

Answer 4

Podría hacerlo "por inspección". Agregue el primero y el tercero.

Así que tenemos $3$ vectores, no independiente. Ellos no pueden abarcar un $3$espacio tridimensional.