Hábito matemático

Question

Siempre que tengo que hacer pruebas o entender un concepto, empiezo con ejemplos y generalizo. Como aspirante a matemático, tengo miedo de que eso me perjudique, sobre todo cuando hay tantas cosas contraintuitivas. Es más cómodo hacer las cosas así, cuando estoy demostrando hechos conocidos o comprendiendo esos conceptos. Sin embargo, podría no ser eficiente cuando estoy tratando de probar/refutar situaciones desconocidas.

¿Tiene alguna sugerencia para evitar la generalización? ¿Es sólo mi problema? Si es así, ¿cuál sería un mejor enfoque de las pruebas?

Gracias.

Answer 1

Estás haciendo exactamente lo correcto. Generaliza a una regla más amplia y, a continuación, prueba con ejemplos concretos que pongan en tela de juicio esta regla más amplia. ¿Es válida para conjuntos infinitos? ¿Sólo se aplica a formas convexas? ¿Es cierta si x es un número complejo? Si es cierta, puede que veas la razón general al probar con ejemplos concretos. O puede que encuentres contraejemplos. En este sentido, no difiere de las ciencias físicas: la teoría se comprueba experimentalmente. La generalización es buena, siempre que pongas a prueba tu teoría con los nuevos casos.

Answer 2

En general, creo que es una muy buena estrategia empezar con ejemplos. Puede que no siempre sea la forma más rápida, pero creo que se entienden mejor las pruebas y los conceptos cuando se empieza con ejemplos antes de intentar demostrarlos en general.

Creo que muchos matemáticos llamarían "intuición" a esta forma de entender un concepto. Y una intuición bien desarrollada es algo realmente importante para un matemático.

No creo que Platón demostró de la nada que $\sqrt{2}$ debe ser irracional. Lo más probable es que primero trató de encontrar un $m,n\in \Bbb Z$ tal que $\frac{m}{n}=\sqrt 2$ . Después de muchos intentos, probablemente tuvo la "sensación" de que esto podía ser imposible. Esta fue su intuición, que da esperanza de que debe haber una manera general de demostrar que $\sqrt 2$ es irracional.

Answer 3

Los consejos que he visto suelen ser lo mismo que estás haciendo tú, las matemáticas son (aunque me apedreen por decirlo) una forma eminentemente experimental ciencia. Se juega con conceptos, se intenta ver cómo encajan, se tropieza con un problema y se busca la manera de resolverlo. Encuentras algo que parece interesante, intentas demostrar que es cierto (jugando con ello, viendo por qué tiene que ser cierto); fracasas repetidamente y empiezas a creer que realmente no es (siempre) cierto, y empiezas a buscar formas de que pueda fracasar.

La única forma de dominar algo es dedicarle unas 10.000 horas en total. Y gran parte de esas horas serán "desperdiciadas", en el sentido de que no serás capaz de demostrar teoremas rompedores, o incluso sólo resultados correctos, durante la mayor parte de esas horas. No ceje en su empeño.

Lea (y asegúrese de entender) "Cómo resolverlo" de Pólya. Hay otros libros de matemáticos prominentes en los que hablan del lado blando(er) de la profesión, la mayoría en forma de una especie de autobiografía científica. Estoy seguro de que otros por aquí pueden añadir una lista de sugerencias.

Se asume tácitamente que quien hace matemáticas es automáticamente un escritor estelar. Esto no es cierto. Claro que hay gente que está dotada por naturaleza, pero a la inmensa mayoría se nos dan mediocremente o mucho peor. Pero es una habilidad que se puede mejorar. Consulte, por ejemplo, "How to write mathematics" de Halmos, "Mathematical writing" de Knuth et al, probablemente haya muchos otros que merezcan una lectura.

Gran parte de las matemáticas se financian con la enseñanza... y de nuevo, eso no es algo que muchos de nosotros nazcamos sabiendo hacer bien (o en absoluto). Intenta formarte en ese campo. He descubierto por las malas que hacerlo bien implica muchas cosas bastante contraintuitivas. Muchos de los escollos para los principiantes se encuentran en áreas que hemos recorrido tan bien que ya no vemos las trampas. Los conceptos que nos parecen sencillos no lo son, o chocan tan claramente con el sentido común de los términos técnicos utilizados para describirlos que resulta casi imposible entenderlos.

Answer 4

No se puede llegar a las estrellas sin generalizar. El problema es cómo demostrar la generalización, que resulta que siempre se deduce de la definición de lo que estás estudiando de un modo u otro.

Si se toma la definición de un anillo y la definición de un homomorfismo, se puede deducir la definición de un ideal, y luego los teoremas de isomorfismo, de forma bastante directa. A partir de ahí se puede demostrar que el espectro de un anillo conmutativo es un espacio topológico, también de forma bastante directa. Estas son pistas de que respaldar tus intuiciones es factible en la mayoría de los casos, pero que cuando no es factible estás en camino de algo profundo, como que tu intuición puede fallar, que esa intuición no es un reflejo directo del lenguaje utilizado para formular el concepto (sintácticamente tautológico), o que no te diste cuenta de que tu intuición tenía una sintaxis agradable (los teoremas de isomorfismo, en aplicación, señalan esto repetidamente), y de ahí el significado cargado en tal teorema. El último teorema de Fermat era una intuición no demostrada.