Límite superior del radio del producto de Cauchy de series de potencias

Question

Sea $\sum_{n = 0}^{\infty} a_nz^n$ y $\sum_{n = 0}^{\infty} b_nz^n$ sean dos series de potencias, cada una con radio de convergencia 1. Cómo de grande puede ser el radio de convergencia de su producto de Cauchy, $\sum_{n = 0}^{\infty} c_nz^n$ ¿ser? (Para que quede claro, $c_n = \sum_{k = 0}^{n} a_kb_{n - k}$ ).

Sé que el radio de convergencia del producto de Cauchy está limitado inferiormente por el mínimo del radio de convergencia de cualquiera de las series de potencias, pero esta pregunta parece pedir un límite superior, lo que me deja bastante perplejo.

Answer 1

El radio de convergencia del producto de Cauchy $\sum c_n x^n$ puede ser infinita cuando la serie $\sum a_n x^n$ y $\sum b_n x^n$ tienen radios de convergencia finitos.

Por ejemplo,

$$1 = \frac{1+x}{1-x} \cdot \frac{1-x}{1+x} = \left((1 + x) \sum_{n=0}^\infty x^n \right) \left((1 - x) \sum_{n=0}^\infty (-x)^n \right) \\= \left(1 + 2\sum_{n=0}^\infty x^n \right) \left(1 +2 \sum_{n=0}^\infty (-x)^n \right)$$

Cada una de las series del lado derecho tiene un radio de convergencia $1$ pero el producto de Cauchy

$$\sum_{n=0}^\infty c_n x^n = 1 + \sum_{n=1}^\infty 0 \cdot x^n$$

tiene un radio de convergencia infinito.