Operador nilpotente sobre un espacio vectorial real de dimensión par

Question

Demostrar que si V es un espacio vectorial real de dimensión par 2k, entonces todo operador T L(V ) tal que $T^2 + T + I$ es nilpotente satisface

$(T^2 + T + I)^k = 0$

Sugerencia: Para a,c, puedes discutir con el polinomio mínimo.

Sé que el cero es un vector propio por lo que el polinomio mínimo para el operador tiene dim a lo sumo 2k-1. El polinomio característico es p(z) = z^2k. ¿Cómo demuestro que el polinomio mínimo tiene grado $k$ ? Muchas Gracias

Answer 1

Esto se puede hacer rápidamente con dos hechos básicos: (1) el polinomio mínimo divide al polinomio característico. (2) el polinomio característico divide a una potencia del polinomio mínimo.

Si $T^2 + T + I$ es nilpotente, entonces el polinomio mínimo de $T$ divide una potencia de $x^2 + x + 1$ por lo que (2) el polinomio característico de $T$ divide una potencia de $x^2 + x + 1$ . Desde $x^2 + x + 1$ es irreducible sobre los reales (y por consideraciones de grado), debemos tener que el polinomio característico de $T$ es $(x^2 + x + 1)^k$ . Por (1), tenemos $(T^2 + T + I)^k = 0$ .