¿Cuál es la unidad del campo Klein Gordon?

Question

Normalmente no me importan las unidades en las derivaciones sobre relatividad o QM. Sólo pongo $\hbar = c = 1$ .

Pero aprendiendo sobre el tensor de momento de energía para la ecuación de Klein Gordon, no pude hacer $T^{00}$ por ejemplo, tienen unidades de densidad de energía, es decir, energía por volumen (espacial).

Por supuesto $T^{\mu \nu}$ proviene de la densidad lagrangiana, que también debería tener unidades de energía por volumen. Así que traté de examinarlo.

En la expresión siguiente, el segundo término, por ejemplo, tiene unidades de $L^{-2}$ si el campo es adimensional.

$${\cal L} =\frac{1}{2} (\partial^\mu \phi \partial_\mu\phi -\left(\frac{mc}{\hbar}\right)^2\phi^2)$$

Podría arreglarse si el campo tiene unidades de $$\left(\frac{E}{L}\right)^{\frac{1}{2}}$$

Pero no lo veo mencionado en ninguna parte, así que no estoy seguro de ello. Sólo para comparar, tanto la densidad lagrangiana como la densidad de energía para el electromagnetismo tienen unidades consistentes.

Answer 1

Suponiendo que el espaciotiempo sea cuatridimensional, tu resultado es correcto. Cuando $\hbar=c=1$ se reduce a la afirmación de que $\phi$ tiene dimensión de masa $1$ que se afirma a menudo en la literatura sobre la teoría cuántica relativista de campos.

Para verlo más directamente, empecemos por el hecho de que la acción $S$ debe tener las mismas unidades que la constante de Planck $\hbar$ . (Normalmente lo decimos al revés: La constante de Planck tiene unidades de acción). La acción es la integral de ${\cal L}$ sobre el espaciotiempo, lo que implica que ${\cal L}$ tiene unidades de densidad de energía (energía por unidad de volumen espacial). Si utilizamos la convención de que la parte espacial derivada del término cinético es $(\nabla\phi)^2 / 2$ donde $\nabla$ es el gradiente espacial, entonces llegamos al resultado que se muestra en la pregunta: $\phi$ debe tener unidades $(E/L)^{1/2}$ donde $E$ es energía y $L$ es la longitud.

Una virtud de este argumento es que no asume nada sobre cómo el coeficiente de la $\phi^2$ está relacionado con la masa, y funciona incluso si el $\phi^2$ término está ausente.

El mismo argumento puede generalizarse a $D$ -para un espacio arbitrario $D$ . La conclusión es que $\phi$ tiene unidades $(E/L^{D-2})^{1/2}$ .

Answer 2

Como se menciona en los comentarios, con $c$ y $\hbar$ a 1. La energía tiene la unidad de $L^{-1}$ y la integral 4D de la densidad Lagrangiana es adimensional como $\hbar$ . Significa que la densidad lagrangiana es de la unidad $L^{-4}$ Así que $\partial_\mu \phi$ es de la unidad $L^{-2}$ y $\phi$ de la unidad $L^{-1}$ . Es coherente con su conclusión de $(E/L)^{1/2}$ pero se puede reducir a $L^{-1}$ .