Intuición para el parámetro $\mu$ en regularización dimensional

Question

En la regularización dimensional, un acoplamiento adimensional $g$ se sustituye por $\mu^{4-d}g$ donde $\mu$ tiene dimensión de masa, por lo que $g$ puede permanecer adimensional. $\mu$ no es físico, aunque su elección afecta a los valores de los contravalores. Fijando las derivadas de los observables con respecto a $\mu$ igual a cero, obtenemos las ecuaciones del grupo de renormalización.

Me parece bien, pero se ha deslizado una afirmación adicional: los acoplamientos renormalizados que se obtienen al utilizar $\mu$ "describen la física a escala energética $\mu$ ".

Pero cuando me enteré de que DR, $\mu$ se presentaba como un parámetro que simplemente se introducía por conveniencia; carecía totalmente de sentido, como la masa de la partícula fantasma en Pauli-Villars. ¿De dónde viene esta interpretación de $\mu$ ¿De dónde viene?

Answer 1

La regularización dimensional (dim-reg) no es muy intuitiva. Se podría decir que MS no es un esquema de renormalización muy físico. Sin embargo, hay varias formas de $\mu$ está conectado a una escala de energía física real en las aplicaciones:

• $\mu$ es arbitraria en general, sin embargo, en los cálculos se suelen obtener logaritmos de la forma $\log (\frac{\mu}{M})$ donde $M$ es alguna escala de energía en tu problema. Podría ser una transferencia de momento, por ejemplo. Si quieres que tus correcciones perturbativas sean pequeñas, es mejor que elijas $\mu \sim M$ de lo contrario los logaritmos serían grandes y su corrección perturbativa no sería pequeña. Esta es principalmente la razón por la que $\mu$ suele considerarse una escala de energía en el problema, aunque en principio es arbitraria. Si se sigue esta receta para elegir $\mu$ Si te fijas, verás que realmente es cierto que a alta transferencia de momento la dispersión QCD 2->2 se vuelve más débil.

• En problemas con varias escalas interesantes esto conduce a un problema, ya que se obtienen varios logaritmos, digamos $\log(\frac{\mu}{m})$ y $\log(\frac{\mu}{M})$ con digamos $m \ll M$ . En este caso no puede elegir un $\mu$ tal que todos los logaritmos son pequeños. Para resolver problemas de este tipo con dim-reg, se necesitan técnicas de Teoría de Campos Efectivos. Es decir, primero se construye una EFT válida para momentos menores que $M$ y la coincidencia de pequeños elementos de la matriz de momento S entre las teorías. Por definición, digamos $M$ es alguna masa de partícula pesada. En este caso se igualarían los elementos de la matriz S para la partícula ligera entre la teoría completa y la EFT sin campos pesados a cierta escala, digamos $\mu \sim M$ , implementando el desacoplamiento de la partícula pesada A MANO. El esquema MS no satisface el teorema de desacoplamiento, pero se puede poner a mano. Del mismo modo que en el caso anterior, haces coincidir las teorías en $\mu$ de orden $M$ para evitar grandes troncos en el cotejo.

En ambos casos, se pone en la "interpretación" de $\mu$ a mano, para facilitarte la vida y hacer que la corrección perturbativa sea realmente pequeña. En este sentido $\mu$ en las aplicaciones suele estar relacionada con alguna escala física, aunque en principio podría ser arbitraria.

Answer 2

Intento dar una respuesta que tenga una actitud diferente hacia su pregunta. En mi opinión, $\mu$ tiene un papel muy importante, en la simplificación de los cálculos de amplitud utilizando el Grupo de Renormalización. Por simplicidad, nos limitamos a la $\lambda \phi^4$ teoría.

Imaginemos que se supone que uno debe calcular una amplitud utilizando diagramas de Feynmann, obviamente uno debe incluir los bucles hasta la precisión exigida.

Usando el grupo de renormalización uno puede antes de cualquier cálculo elegir una escala apropiada conmensurada con la escala de las variables de Mandelstam (que determinan la escala de dispersión por tres cantidades para canales diferentes, a saber s,t,u que se escriben en términos de los 4-momentos entrantes y salientes).

Esa escala elegida es literalmente $\mu$ ¡! Y utilizando la fórmula de funcionamiento para los acoplamientos(como $\alpha(\mu)={{\alpha(m)}/1-clog(\mu/m)}$ ) que hemos derivado utilizando las ecuaciones de RG, se puede encontrar $\alpha(\mu)$ donde ahora el acoplamiento se calcula a la nueva escala que es del mismo orden que las variables de Mandelstam.

Te preguntarás "¿para qué sirve?".

La cuestión: Utilizando el valor de la constante de acoplamiento a la nueva escala, hemos aumentado automáticamente la parte de los primeros términos en la expansión perturbativa y minimizado la parte de los términos de orden superior que incluyen muchos bucles y ¡hacen que los cálculos sean muy difíciles!

En otras palabras, ¡estamos acumulando gran parte de las correcciones de bucle que utilizan un acoplamiento de escala inferior, en las contribuciones a nivel de árbol de una expansión perturbativa que utiliza un acoplamiento de escala superior!

No olvide que el $\mu$ -la independencia de las amplitudes nos permite realizar este intercambio de "acciones de diagrama".

Desafortunadamente en el esquema MS y también en la renormalización On-Shell "acompañada" de Regularización Dimensional no se pueden incluir todas las correcciones de bucle a escalas bajas en un único diagrama a nivel de árbol a una escala superior, pero de hecho, sólo podemos disminuir la importancia de las correcciones de bucle ejecutando $\alpha(\mu)$ hasta escalas $\mu$ ~ $t$ (o " $s$ " o " $u$ ").

En el esquema on-Shell, se puede imaginar que $\alpha=\alpha(s,t,u)$ y determinando el valor de $\alpha$ a cierta escala, como $(s_0,t_0,u_0)$ se puede encontrar el valor de la constante de acoplamiento a otra escala, como $\alpha(s',t',u')$ utilizando ecuaciones RG (esta vez en un espacio 3D, de 3 variables Mandelstam en lugar de una variable llamada $\mu$ ) y entonces no hay necesidad de hacer ningún cálculo de bucle en absoluto. En cierto sentido, ¡hemos creado una teoría de campo efectivo clásica completa en la que ya no es necesario el cálculo de bucles!

La complicación aumenta cuando $s,t,u$ son todos de, ¡diferentes órdenes! Entonces, en este caso, se suele introducir una nueva variable como $Q$ que es la media geométrica de las variables de Mandelstam: $Q=(stu)^{1/6}$ que es la variable deseada $\mu$ en el esquema MS.