Combinatoria ¿cuántas formas hay de poner 10 DVD en 3 cajas para que cada caja contenga al menos 2 DVD?

Question

PROBLEMA: ¿De cuántas formas se pueden meter 10 DVD idénticos en 3 cajas idénticas de forma que cada caja contenga al menos 2 DVD.

Mi razonamiento es este..

Como cada caja debe contener al menos 2 DVD, saco 3 de los 10 DVD y asigno automáticamente cada uno de ellos a una caja. Así que ahora todas las cajas tienen 1 DVD, y ahora quedan 7.

El problema se ha reducido ahora a cuántas maneras se pueden asignar 7 DVD en 3 cajas de forma que cada caja reciba al menos 1 DVD. Así que aquí usando estrellas y barras, puedes usar 2 barras para crear 3 particiones de los 7 DVDs. Entre los 7 DVDs hay 6 lugares para colocar las 2 barras. Esto da 6 combinaciones de elegir 2, que son 15.

La respuesta correcta es 4, estoy perdido, ¿podría alguien explicármelo?

Answer 1

Tuviste un buen comienzo excepto que creo que te perdiste la parte donde la pregunta decía que cada caja necesita tener como mínimo 2 DVD.

Asignamos $2$ DVD a cada caja y los 4 DVD restantes se distribuyen en $\binom43 = 4$ maneras.

Answer 2

Puedes empezar de la misma manera que has mencionado, distribuyendo CDs en cada caja; en lugar de distribuir uno en cada una, puedes distribuir dos en cada caja y simplificar el problema a distribuir 4 CDs idénticos en 3 cajas idénticas.

Aquí no podemos utilizar estrellas y barras, porque las casillas son idénticas.
Hay cuatro formas de dividir 4 en 3 partes:
4, 0, 0
3, 1, 0
2, 2, 0
2, 1, 1

Así, obtenemos 4 soluciones.