Sean cuales sean las versiones de los teoremas de Hahn-Banach que se presenten en un libro, lo que nunca he visto que se omita es el lema de extensión
Sea $E$ sea un espacio vectorial real, y $p \colon E \to \mathbb{R}$ un funcional sublineal. Si $M$ es un subespacio de $E$ et $f\colon M \to \mathbb{R}$ una función lineal tal que $f(x) \leqslant p(x)$ para todos $x\in M$ entonces existe una función lineal $F \colon E \to \mathbb{R}$ con $F\lvert_M = f$ y $F(x) \leqslant p(x)$ para todos $x\in E$ .
Así que asumo que podemos usar eso.
Por definición, $B$ es $\sigma(X'',X')$ -cerrado, y $x_0'' \notin B$ . Desde $\sigma(X'',X')$ es una topología de espacio vectorial, existe un $\sigma(X'',X')$ -barrio $U$ de $0$ tal que
$$B \cap (x_0'' + U + U) = \varnothing.\tag{1}$$
Reorganización de $(1)$ produce $(B - U) \cap (x_0'' + U) = \varnothing$ . Defina $V := B - U$ . Desde $\sigma(X'',X')$ es localmente convexa, podemos suponer que $U$ es convexa y equilibrada, y como $B$ también es convexa y equilibrada, $V = B - U = B + U$ es entonces una convexa y equilibrada $\sigma(X'',X')$ -vecino de $0$ . En particular, $V$ es un subconjunto convexo y absorbente de $X''$ . Su funcional de Minkowski
$$\mu_V \colon x \mapsto \inf \{ t > 0 : x \in t\cdot V\}$$
es entonces una función sublineal en $X''$ . Desde $V$ también está equilibrada, $\mu_V$ es incluso una seminorma (pero eso no juega ningún papel, es sólo una observación al margen).
Ahora desde $(x_0'' + U)\cap V = \varnothing$ se deduce que $\mu_V(x_0'') > 1$ . Sea $M = \mathbb{R}\cdot x_0''$ y definir $f\colon M \to \mathbb{R}$ por $f(\alpha \cdot x_0'') = \alpha\cdot \mu_V(x_0'')$ .
Por el lema, hay una lineal $F \colon X'' \to \mathbb{R}$ con $F(x_0'') = \mu_V(x_0'') > 1$ y $F(x'') \leqslant \mu_V(x'')$ para todos $x'' \in X''$ . Puesto que claramente $\mu_V(x'') \leqslant 1$ para todos $x'' \in V$ podemos encontrar $\alpha \in \bigl(1,\mu_V(x_0'')\bigr)$ y $\varepsilon > 0$ con
$$F(x'') \leqslant 1 < \alpha < \alpha + \varepsilon < \mu_V(x_0'') = F(x_0'').\tag{2}$$
En concreto, tenemos $F(x) < \alpha$ para todos $x\in B$ .
Queda por ver que $F$ es el funcional de evaluación para algún $x'\in X'$ . Y eso equivale a $F$ en $\sigma(X'',X')$ -continuo. Pero por construcción $F$ está acotada en algún $\sigma(X'',X')$ -vecino de $0$ - a saber $V$ o cualquier barrio más pequeño, como $U$ - y eso implica $F$ es $\sigma(X'',X')$ -continuo.
Si Conway demuestra el teorema de separación para espacios localmente convexos [lo anterior es esencialmente una demostración de ello, hay que generalizar algunos detalles], podemos simplemente invocarlo para el espacio $(X'',\sigma(X'',X'))$ ya que por construcción $B$ es un $\sigma(X'',X')$ -conjunto convexo cerrado, y $\{x_0''\}$ es un $\sigma(X'',X')$ -conjunto convexo compacto disjunto de $B$ .
