Actualización 18.10.2017: En la versión anterior de mi respuesta había supuesto que la serie comienza en $x_0$ en lugar de $-x_1$ tal y como se definía en la pregunta. Ahora he adaptado mis resultados y matrices en consecuencia.
Dar ejemplos a las preguntas en los comentarios.
He utilizado Pari/GP; contiene un procedimiento compatible con Cesaro-sum sumalt() Con esto obtuve la siguiente tabla:
f(x)=sqrt(x+1/2)
p=4 \\ used as exponent for the series
list=vectorv(20) \\ takes 20 solutions
\\ --------- put the following commands of the loop in a "bracketed block"
{ for(q=1,20, x0=x1=q-1;
su=sumalt(k=1,
(-1)^k * ( x1 = f(x1))^p); \\ for iteration (k>0)
list[q] = [ x0 , su , 1.0/8 - x0^2 ]
); }
\\ ---------
printp(Mat(list));
...
x0 ! sum by"sumalt" ! 1/8 -x0^2
! (cesarosum) ! equals "sum"
-----+ ----------------+ ------------------
0 0.125000000000 0.125000000000
1 -0.875000000000 -0.875000000000
2 -3.87500000000 -3.87500000000
3 -8.87500000000 -8.87500000000
4 -15.8750000000 -15.8750000000
5 -24.8750000000 -24.8750000000
6 -35.8750000000 -35.8750000000
7 -48.8750000000 -48.8750000000
8 -63.8750000000 -63.8750000000
Las diferencias están en los dígitos cercanos a software-epsilon
[Actualización] Hay más ejemplos de sumas interesantes, véase la siguiente respuesta en otro hilo MSE
También hay un resultado empírico/heurístico/conjeturado que utiliza mi enfoque matricial anteriormente discutido, que emplea matrices de Carleman y para la suma de la serie de iteración alterna -cuando esto es posible- la serie de Neumann de esa matriz de Carleman.
Mis herramientas Pari/GP me dan lo siguiente
pc_f=polcoeffs(f(x),32)~ \\ put the (leading) coefficients of the
\\ powerseries-expansion of f(x) into a vector.
\\ Because of finite size we can always -at best-
\\ get approximative solutions
\\ show the first few coefficients:(actually I work with first 32 coeffs.)
[0.707106781187, 0.707106781187, -0.353553390593, 0.353553390593,
-0.441941738242, ... ]
F = mkCarlemanmatrix(pc_f) \\ user defined procedure
\\The top-left of F is
1 0.707106781187 0.500000000000 0.353553390593 0.250000000000 0.176776695297
0 0.707106781187 1.00000000000 1.06066017178 1.00000000000 0.883883476483
0 -0.353553390593 0 0.530330085890 1.00000000000 1.32582521472
0 0.353553390593 0 -0.176776695297 0 0.441941738242
0 -0.441941738242 0 0.132582521472 0 -0.110485434560
0 0.618718433538 0 -0.132582521472 0 0.0662912607362
Con un vector $\small V(x)=[1,x,x^2,x^3,...]$ podemos entonces evaluar la serie haciendo el punto-producto
V(x) * F = [1, f(x), f(x)^2, f(x)^3, f(x)^4 , ... ]
= V(f(x))
Aquí las series que se producen en los índices impar ( $\small f(x),f(x)^3,f(x)^5$ ) tienen radio de convergencia $\small \rho<=1$
Obsérvese que en la quinta columna (=columna con índice 4 ) obtenemos 4 potencia de la función: $\small f(x)^4$ que es, por supuesto, lo que nos interesará a continuación para nuestro problema.
Ahora tratamos de obtener una matriz significativa A por la serie Neumann, que interpreta la serie geométrica alterna para matrices (en la medida en que esto es posible). Como su serie empieza en $x_1$ y no $x_0$ Omito el primer término que sería la matriz de identidad $F^0$ :
$$\small A = - F+ F^2 - F^3 ... = F*(I + F)^{-1} $$
Esta inversión matricial debe hacerse con mucho cuidado; en casos como el que nos ocupa utilizo la descomposición LDU, la inversión (¡exacta!) de los componentes y la construcción de la inversa a partir del producto de las inversas de los componentes L,D,U aplicando la Eulersummation cuando las convergencias en los dotproducts son malas. Pero incluso el procedimiento ingenuo de inversión en Pari/GP da una solución aproximada aparentemente significativa:
A = -F * (matid(32) + F)^-1
\\ the top-left of A
-1/2 -1.3477094 1.0977094 -0.57076948 0.12500000 0.11653321
0 -1.0048085 0.0048084741 -0.0024627863 0 0.0013720680
0 9.3831760 -9.3831760 4.4965232 -1.0000000 -0.94229215
0 -0.36697128 0.36697128 -1.1877337 0 0.10440858
0 -5.4154218 5.4154218 -3.2908264 0 0.49966112
0 -3.9408033 3.9408033 -2.0077436 0 0.11044718
0 2.4551648 -2.4551648 1.4308645 0 -1.1883271
0 1.5382960 -1.5382960 0.88397114 0 -0.55144081
0 -3.4084780 3.4084780 -1.6751387 0 0.95787115
0 -2.8478962 2.8478962 -1.3608389 0 0.80723231
Los dotproducts con a $V(x)$ -debe dar una aproximación $$ V(x) \cdot_{\mathfrak E} A = [ a_0 , a_1(x), a_2(x) , a_3(x), a_4(x), ... ] $$ En ${\mathfrak E}$ significa aquí que posiblemente Eulersummation está implicado en la medida en que las sumas que se producen no son convergentes, o convergen sólo mal.
Pero tenemos dos interesantes columnas: sólo tienen un número finito de entradas para que la serie alterna de esos exponentes pueda ser calculable mediante polinomios finitos:
column represents gives value
by evaluation
-----------------------------------------------------------------
a_0 = - x_1^0 + x_2^0 - ... + ... = -1/2
a_4(x) = - x_1^4 + x_2^4 - ... + ... = 1/8 -1*x^2
El valor de $\small a_0$ cumple con la evaluación de $\small -1+1-1 \ldots$ por Eulersummation y los valores de $\small a_4(x)$ se ajustan a los resultados obtenidos por suma de series $\small -x_1^4 + x_2^4 - ... + ...$
Tal heurística por las Neumann-matrices se puede encontrar en muchos lugares en tetration y iteración-series, sin embargo nunca tuve tiempo y energía para sentarse y hacer las pruebas formales para que las propiedades concluidas....
