representación en base m de los números reales

Question

Sea $ m \in \mathbb Z \space with \space m\ge 2,$ $Let\space a_{1},a_{2},a_{3}...\in \left\{0,1,2,3...,m-1\right\}\\Let\space S_{n} = \sum_{k=1}^{n}\frac{a_{k}}{m^{k}},Given \space x\in[0,1],show\space that \space there\space exist \space a_{1},a_{2},a_{3}...\space such\space that \ we\ have \lim_{n\to\infty}S_{n} = x $

Me quedé atascado en esta pregunta , en primer lugar quiero elegir $a_{k} = x(m-1)$ ya que se trata de una serie geométrica conduce a la respuesta pero no satisface la condición de que $a_{k}$ debe ser un interger en [1,m-1]. ¿Alguien puede darme alguna pista para este problema? Gracias.

Answer 1

Se resta lo que ya se ha contabilizado, se multiplica por otro factor de $m$ y redondea hacia abajo. Así que si queremos $3.14159$ en base $4$ la parte entera es $3$ . Entonces $0.14159 \cdot 4= 0.56636_{10} \lt 1$ por lo que tenemos $3.0_4$ hasta ahora. Entonces $0.56636_{10} \cdot 4=2.26546_{10}$ así que el siguiente lugar es $2$ y tenemos $3.02_4$ hasta ahora. Entonces $0.26546 \cdot 4=1$ y un poco, así que tenemos $3.021_4$ y seguir hasta que seamos lo suficientemente precisos.

Answer 2

Observemos $$a_0=0$$ y para cada número entero $k\geq 0$ $$a_k= {[m^k*x]-m[m^{k-1}*x]} $$ donde $[.]$ es la función suelo.

entonces $$S_n = \frac{[m^n*x]}{m^n}$$ que convergen en $x$ cuando $n\to\infty$ (utilizando $[.]$ definición)