relación entre el polinomio característico y el polinomio mínimo

Question

Defina $l_a : F(a) F(a) $ por $ l_a(x)=ax$ cuando $[F(a):F]=n$ .

muestran que el polinomio mínimo de $a$ en $F$ es igual al polinomio mínimo de $l_a$ como se define en álgebra lineal.

esto es lo que he hecho para probar :

la matriz asociada de $l_a$ es un $n*n$ (porque $F(a)$ es un $n$ espacio dimensional) con $"a"$ en todas las entradas de la diagonal principal y cero en todas las demás, por lo que el polinomio característico de $l_a$ es $(a-\lambda)^n$ que es un polinomio mónico de grado $n$ y con $a$ como raíz.

y porque tenemos $[F(a):F]=n$ por lo que el polinomio mínimo de $a$ en $F$ tiene grado $n$ .

por lo que el polinomio mínimo de $a$ en $F$ es igual al polinomio característico de $l_a$ .

¿hay algún error? ¿es una prueba completa?

gracias.

Answer 1

Pista: si tomamos la base $\{1,a,\dots,a^{n-1}\}$ . Supongamos además que $a^n = \sum_{k=0}^{n-1} c_k a^k$ . Entonces la matriz de esta transformación respecto a la base es $$ T_{\ell} = \pmatrix{&&&&c_0\\1&&&&c_1\\&1&&&\vdots \\&&\ddots\\&&&1&c_{n-1}} $$ Ahora, ¿cuál es el polinomio característico/minimo de esta transformación lineal? Tal vez esta matriz parece ¿te suena?