Sea $X_1...X_n\sim N(\mu,\sigma)$ sean variables aleatorias normales. Hallar el valor esperado de $\max_i(X_i)$ y $\min_i(X_i)$ .
La triste verdad es que no tengo ni idea de cómo empezar y me alegraría que me dieran una pista.
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Bonnie
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Como dice Robert Israel, sólo hay que tener en cuenta la norma $N(0,1)$ s. Si $E_n$ es el valor esperado del máximo de $n$ independiente $N(0,1)$ s, entonces el valor esperado de $\max_i(X_i)$ es $\mu+\sigma E_n$ y el valor esperado de $\min_i(X_i)$ es $\mu-\sigma E_n$ .
En realidad se trata de un problema bastante bonito, porque existe una forma cerrada hasta $n=5$ dada por $E_1=0$ , $E_2=\pi^{-1/2}$ , $E_3=(3/2)\pi^{-1/2}$ , $E_4=3\pi^{-3/2}\cos^{-1}(-1/3)$ , $E_5=(5/2)\pi^{-3/2}\cos^{-1}(-23/27)$ .
Pero no creo que se obtenga una forma cerrada para el general $n$ . Dependiendo de su aplicación, puede que una fórmula de aproximación sea útil, o puede que un programa informático sea bueno. La primera fórmula de aproximación que podrías utilizar es $E_n\sim\sqrt{2\log(n)}$ pero hay otros más precisos (y elaborados) si eso es lo que necesita (en cuyo caso, por favor, dígalo).
Para mostrar los cinco primeros valores de $E_n$ son como los anteriores, sea $\phi(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-x^2/2}$ sea la densidad normal estándar y $\Phi(x)$ la cdf estándar. Entonces \begin{equation}\begin{split} E_n&=\int_{-\infty}^\infty x\dfrac{d}{dx}\Phi(x)^ndx\\ &=n\int_{-\infty}^\infty x\phi(x)\Phi(x)^{n-1}dx\\ &=n(n-1)\int_{-\infty}^\infty \phi(x)^2\Phi(x)^{n-2}dx\quad\text{(by parts)}\\ &=n(n-1)\int_{-\infty}^\infty \phi(x)^2\left(A(x)+\tfrac12\right)^{n-2}dx\quad\text{(where $A(x)=\Phi(x)-\tfrac12$),}\\ &=\frac{n(n-1)}{2\pi}\sum_{r=0}^{[n/2]-1}(\tfrac12)^{n-2-2r}\binom{n-2}{2r}\int_{-\infty}^\infty e^{-x^2}A(x)^{2r}dx\quad\text{(using antisymmetry of $A(x)$)}. \end{split}\end{equation}
Así que el $E_n$ vienen en parejas, y $E_{2n}$ y $E_{2n+1}$ puede escribirse en términos de $\int_{-\infty}^\infty e^{-x^2}A(x)^{2r}dx$ para $r=0, \ldots, n-1$ . Podemos obtener una forma cerrada de esta integral para $r=0$ y también, de forma ligeramente sorprendente, para $r=1$ , dando $E_1, \ldots, E_5$ arriba.
La única forma que conozco de hacerlo es introduciendo $$I_n(s)=\int_{-\infty}^\infty e^{-sx^2/2}A(x)^{2n}dx.$$ Entonces $I_n(s)$ satisface una extraña regla de reducción $$I_{n+1}(s)=\frac{2n+1}{2\pi\sqrt{s}}\int_0^{1/\sqrt{s}}\left(1+y^2\right)^{-1}I_{n}\left(1+s(1+y^2)\right)dy.$$ En consecuencia, \begin{equation}\begin{split} I_0(s)&=\sqrt\frac{2\pi}{s},\\ I_1(s)&=\frac{1}{\sqrt{2\pi s}}\tan^{-1}\left(\frac{1}{\sqrt{s(s+2)}}\right),\\ %I_2(s)&=3(2\pi)^{-3/2}s^{-1/2}\int_0^{s^{-1/2}}\left(1+y^2\right)^{-1}\left(3+2y^2\right)^{-1/2}\tan^{-1}\left(\left((3+2y^2)(5+2y^2)\right)^{-1/2}\right)dy \end{split}\end{equation} y las fórmulas anteriores para $E_1, \ldots, E_5$ se deducen de los valores de $I_0(2)$ y $I_1(2)$ utilizando equivalencias trigonométricas estándar.
Para demostrar la regla de reducción, \begin{equation}\begin{split} \int_0^{1/\sqrt{s}}\left(1+y^2\right)^{-1}&I_{n}\left(1+s(1+y^2)\right)dy\\ &=\int_0^{1/\sqrt{s}}\int_{-\infty}^\infty\left(1+y^2\right)^{-1}e^{-(1+s(1+y^2))x^2/2}A(x)^{2n}dxdy\\ &=\int_0^{1/\sqrt{s}}\int_{-\infty}^\infty\left(1+y^2\right)^{-1}e^{-s(1+y^2)x^2/2}\sqrt{2\pi}\phi(x)A(x)^{2n}dxdy\\ &=\int_0^{1/\sqrt{s}}\int_{-\infty}^\infty\left(1+y^2\right)^{-1}e^{-s(1+y^2)x^2/2}\frac{\sqrt{2\pi}}{2n+1}\dfrac{d}{dx}A(x)^{2n+1}dxdy\\ &=s\frac{\sqrt{2\pi}}{2n+1}\int_0^{1/\sqrt{s}}\int_{-\infty}^\infty xe^{-s(1+y^2)x^2/2}A(x)^{2n+1}dxdy\quad\text{(by parts in $x$)}\\ &=s\frac{\sqrt{2\pi}}{2n+1}\int_{-\infty}^\infty xe^{-sx^2/2}A(x)^{2n+1}\left(\int_0^{1/\sqrt{s}} e^{-sy^2x^2/2}dy\right)dx\\ &=s\frac{\sqrt{2\pi}}{2n+1}\int_{-\infty}^\infty xe^{-sx^2/2}A(x)^{2n+1}\left(\int_0^x \frac{e^{-y^2/2}}{\sqrt{s}x}dy\right)dx\\ &=\sqrt{s}\frac{2\pi}{2n+1}\int_{-\infty}^\infty e^{-sx^2/2}A(x)^{2n+2}dx\\ &=\sqrt{s}\frac{2\pi}{2n+1}I_{n+1}(s). \end{split}\end{equation}
Presumiblemente el $X_i$ son independientes. Si $\Phi$ es la fdc normal estándar, $$P(\max_i X_i < \mu + t \sigma) = \prod_i P(X_i < \mu + t \sigma) = \Phi(t)^n$$ así que $$ E[\max_i X_i] = \mu + \sigma \int_{-\infty}^\infty t \dfrac{d}{dt} \Phi(t)^n\ dt $$ Maple me dice que para $n=2$ la integral es $1/\sqrt{\pi}$ y para $n=3$ es $3/(2\sqrt{\pi})$ . No conoce formas cerradas para $n > 3$ y yo tampoco. Los valores numéricos de $n=2$ a $10$ son $\matrix{.56418958354775628695,& .84628437532163443042,& 1.0293753730039641321,\cr 1.1629644736405196128,& 1.2672063606114712976,& 1.3521783756069043992,\cr 1.4236003060452777531,& 1.4850131622092370063,& 1.5387527308351728560\cr}$
